Waves курс график: График и курс Waves — TradingView

Что такое волны? - OpenLearn

Когда вы узнаете больше о волнах и различных ситуациях, в которых они возникают, вы увидите, что волны удобно представлять графически. Мы можем изобразить волну в виде графика двумя способами: как функцию расстояния и как функцию времени . Важно понимать разницу между ними и свойства волны, которые представлены в обоих.

Возьмем в качестве примера всплеск камня в пруду, если мы сделаем снимок волны на поверхности пруда в фиксированном моменте времени , таком как стоп-кадр на рис. 2, и построим вертикальное положение или смещение точки на поверхности в зависимости от расстояния от точки, где был брошен камень, у нас есть волна, представленная как функция расстояния:

построен как функция расстояния.

В случае каменного всплеска вертикальная ось представляет собой смещение воды от ненарушенной линии воды, но когда вы сталкиваетесь с волнами в других ситуациях, вы столкнетесь с другими единицами измерения на вертикальной оси, такими как, например, интенсивность или напряжение. По этой причине вертикальная ось на рисунке 5 не обозначена, так как она представляет общий случай любой волны, отображаемой как функция расстояния.

Когда волна изображается с расстоянием по горизонтальной оси, расстояние от одного пика до другого или от одной впадины до другой соответствует одному полному циклу, и это расстояние называется длиной волны.Обратите внимание, что от пика к пику или от впадины к впадине просто проще всего измерить длину волны или период. Подойдет любой полный цикл, как показано пунктирными линиями на рисунке 5. Другими словами, вы можете измерить длину волны или период как расстояние между любой парой эквивалентных точек, то есть точек, где волна имеет одинаковую «высоту». и меняется одинаково (т.е. градиент либо положителен для обеих точек, либо отрицателен для обеих точек).

Максимальное вертикальное смещение волны от невозмущенной поверхности является амплитудой.

Мы также можем изобразить волну как функцию времени. Используя тот же пример с всплеском камня в пруду, если мы теперь сфокусируемся на точке поверхности на фиксированном расстоянии от места падения камня, такой как одна из зеленых точек на рисунке 3, и построим вертикальную смещения как функции времени, у нас есть волна, представленная как функция времени:

Рисунок 6   График, показывающий свойства волны, построенной как функция времени

по горизонтальной оси время, прошедшее от одного пика до другого или от одного впадины до другого, отмечает один полный цикл, и это время известно как период. Как и на предыдущем графике, амплитудой является максимальное вертикальное смещение волны от невозмущенной поверхности.

Таким образом, определения длины волны и периода очень похожи. Длина волны представляет собой расстояние и относится к точкам, разделенным в пространстве, но измеренным в фиксированный момент времени; период представляет собой временной интервал и относится к случаям, разделенным во времени, но измеренным в фиксированной точке пространства.

PHYS 200 - Лекция 19 - Волны

PHYS 200 - Лекция 19 - Волны

Глава 1.Общее решение волнового уравнения [00:00:00]

Профессор Рамамурти Шанкар: Итак, что я вам говорил о волнах? Я сказал, давайте возьмем конкретный пример вместо того, чтобы говорить в общих чертах. Вы говорите, что волна — это возмущение какой-то среды. Средой, которую я выбрал для изучения, была струна, натянутая и зажатая с обоих концов. Затем вы тянете его и отпускаете, он что-то делает. Эта высота от нормального положения в точке x является фактической переменной ψ x и t . Итак, в каждой точке х вдоль струны происходит смещение струны в поперечном направлении; это ψ от x и t . Я показал вам, что это ψ подчиняется следующее уравнение: D ² ψ более DX ² , равен 1 более V ² , D ² ψ более дт ² , где v ² — натяжение, деленное на массу на единицу длины.Я собираюсь изменить свое обозначение в силу, потому что T также используется для периода времени; так что это будет, это очень скоро доставит мне неприятности. Итак, давайте просто изменим формулу на ту, что используется в книгах: v ² равно F на μ ; F — натяжение струны.

Итак, как мы это получили? Позвольте мне напомнить вам, как я получил это, хорошо? Давайте отменим v ² как T на μ .Мы говорим, что Td ² ψ сверх dx ² равно μ ; d ² ψ свыше dt ² . Это очень легко понять, смысл уравнения, я утверждаю, просто F = ma . Вы понимаете, что это a струны, движущейся вверх и вниз, это ускорение, а это масса на единицу длины. Итак, представьте крошечный сегмент шириной dx . Если вы умножите обе стороны на х , это будет масса маленького сегмента. мк умножить на dx — масса; это масса умноженная на ускорение. Левая сторона - сила на нем. Почему это сила? Я пытался объяснить вам, что если вы возьмете кусок этой нити, то напряжение будет тянуть вот так [указывая на доску] и вот так здесь, и они не сокращаются, потому что если вы разложите эту силу на вертикальная и горизонтальная части, что в вертикальную и горизонтальную части [указывая на доску], вы можете видеть, что это будет больше, чем это.Итак, изменяется сам наклон и это скорость изменения наклона.

Другой способ думать об этом, если вы помните свое исчисление, вторая производная функции - это кривизна функции; так что если вы нарисуете такой график, это будет функция отрицательной кривизны, это функция положительной кривизны. В нем говорится, что если струна имеет отрицательную кривизну, сила направлена ​​вниз; если струна имеет положительную кривизну, это, вероятно, означает, что вы находитесь ниже своего нормального положения; затем он получает силу вверх.Таким образом, кривизна струны приводит к результирующей силе.

Один из вас задал мне после урока очень хороший вопрос, а именно: «Вы позаботились о вертикальных силах, таких как Тsin (θ + Δθ) здесь и Tsin θ здесь, и вы все отмены. Как насчет горизонтальной части? Это тоже не совсем сбалансировано, углы не равны». Но дело было в том, что sin θ было аппроксимировано θ для малых углов, но cos θ , как вы помните, начинается как 1 минус θ ² на 2 и так далее; но мы не следим за вещами больше, чем первая степень θ в расчетах.Таким образом, cos θ равно 1 в этом приближении, а tan θ и sin θ равны θ. Это малое приближение угла. Вот почему горизонтальные силы, тот факт, что они не совсем совпадают, является ошибкой следующего порядка в θ , а вот вертикальные силы пропорциональны первой степени θ , и это то, что мы сохранили. Таково происхождение волнового уравнения. Затем вы знаете, что отменили dx и так далее, и вы вернулись к этой форме.

Тогда я сказал, как насчет решений этого уравнения? Что ж, если у вас есть немного больше времени, я могу рассказать вам, как получить решение этого уравнения. У меня нет столько времени. Итак, что мы будем делать — собираемся делать — это довольствоваться записью решения, а затем убеждать вас, что это решение, анализируя его свойства. Итак, записанное мной решение выглядело как A cos (kx - ωt) . И я сказал: «Ну, это решение такой формы?» Ну, возьми, подставь в уравнение и возьми все производные.Прежде всего, вы, ребята, должны увидеть, что A аннулируется с обеих сторон. Вы видите это? Итак, если вы поместите это здесь, две производные дадут k ² , две производные здесь дадут ω ² . Следовательно, если вы хотите, чтобы две стороны совпадали, вам нужно, чтобы сторона ω ² , разделенная на v ² , равнялась k ² . Это означает, что ω = k умножить на v .Это единственное условие. Если это выполняется, если это ω равно k умножить на v , у вас есть решение. Нет, и A означает что угодно; вы можете иметь любую амплитуду, которую вы хотите. Конечно, это немного фейк. Почему это не совсем буквально? Да?

Студент: [неразборчиво]

Профессор Рамамурти Шанкар: Нет, я говорю вам, что это реально и положительно, и длиной в две мили. Да?

Студент: [неразборчиво]

Профессор Рамамурти Шанкар: Не только это.Весь расчет предполагал, что это проблема небольшого смещения, верно? Вот почему sin θ и tan θ равны θ , а cos θ примерно равно 1. Итак, сделав приближение и получив ответ, вы не должны слепо применять ответ к обстоятельствам, которые недействительны. Таким образом, несмотря на то, что в ответе говорится, что вы можете иметь любое A, которое вам нравится, на практике вы не должны использовать его для A, которое настолько велико, что аппроксимация малого угла не работает.Итак, А — это что угодно. Итак, давайте подставим в результат, который я узнал, а именно, что ω = kv , и запишем это как k умножить на x - vt . И вот где мы были в конце урока. Это говорит вам о том, что этот парень является некоторой функцией x-vt . Получается, что A cos , но оказывается, что любая функция x - vt на самом деле удовлетворяет волновому уравнению. Это очень интересное упражнение для любителей исчисления. Возьмите f неизвестную функцию, как хотите, но это не произвольная функция, в которой x и t появляются как угодно, они появляются только в этой комбинации. Итак, придумайте любую функцию, которую хотите, гиперболический cos от x - vt , это решение волнового уравнения.

Почему? Потому что если вы начнете брать производные, если вы назовете эту переменную w , вы обнаружите, что частная производная x и частная производная по отношению к T связаны с производными w ; а затем, если вы воспользуетесь цепным правилом, вы обнаружите, что оно удовлетворяет волновому уравнению. Затем я попытался убедить вас, что из-за этого v на самом деле является скоростью волны.Позвольте мне рассказать вам, почему. Возьмите любую функцию, которая вам нравится, в данный момент времени t = 0, она имеет определенную форму. Наш косинус имеет определенную форму, но принимайте любую форму, какую хотите, a t = 0. Допустим, здесь он достиг пика. Если вы немного подождете, если вы хотите, чтобы оно достигло максимума x = 6, например, если вы немного подождете, этот член минус vt вычитает из него, вы должны добавить к этому столько же, так что пик теперь будет там. Величина, на которую он сдвинулся, фактически точно равна vt .Другими словами, если и становятся ненулевыми, x должны стать ненулевыми на ту же величину, если вы хотите оседлать гребень этой волны. Это означает, что сигнал движется вправо. Итак, получается, что у вас может быть x - vt или x + vt , они оба являются решениями волнового уравнения. Со знаком минус сигнал движется вправо; со знаком плюс он движется влево. Это краткое изложение того, что я сделал в прошлый раз.

Глава 2. Пространственная и временная периодичность: частота, период [00:08:51]

Итак, в прошлый раз мы вывели волновое уравнение; мы приняли именно это решение.Хорошо. Следующее, что я хочу сделать, это задать следующий вопрос: «Что такое k и что такое ω ?» Итак, давайте возьмем эту функцию ψ , x и t , что равно A cos kx - ωt . Видите ли, функцию двух переменных нам сложно представить. Мы все хорошо объясняем, визуализируем функцию одной переменной, но это функция двух переменных. Поймите, почему их два. Каждая точка на струне имеет в этой точке переменную ψ , и эта переменная может меняться со временем.Вот почему ψ от x и t необходимы для описания вибрации вытянутого тела, подобного струне. Но для точечной частицы достаточно одной, двух или трех координат. Хорошо. Теперь я смотрю на эту функцию и говорю: «Дайте мне хотя бы понять эту функцию при t = 0». A t = 0, отбросить этот член; другими словами, это снимок функции. На что это похоже? Если я делаю снимок в t = 0, то я варьирую пространство. Ну, это cos kx , и вы все можете построить cos kx против x .Он начнется с A , затем он будет колебаться, потому что это то, что делает косинус. Это расстояние от одного пика до другого мы называем длиной волны. Это также расстояние от одной впадины до другой впадины или от одной точки до идентичной точки. То расстояние, на котором вы повторяетесь, называется лямбда (λ). Каково отношение k к λ ? Теперь вы должны спросить себя, когда x было 0, этот угол был 0. Я должен увеличить x , пока оно не вернется к тому, что по сути равно 0.Для A cos вы вернулись практически к 0, если этот угол равен 2 π . Это также может быть 4 π или 6 π , но в первый раз вы вернетесь к 0, когда это будет 2 π . Таким образом, длина λ наверху обладает тем свойством, что k умножить на λ составляет 2 π , потому что, если я сдвинусь вправо на величину λ , угол в косинусе изменится на 2 π . Итак, это число, называемое k , связано с числом, которое мы все интуитивно понимаем по этой формуле.Это обратная длина волны, с точностью до множителя 2 π .

Теперь вы можете сказать, что вы выбрали время t = 0; возможно, если бы вы выбрали время t = 1 секунда, вы бы получили другую картину. Подумай об этом. Если я полагаю t = 1 секунде, пока это фиксированное число, это некоторый фиксированный угол φ ; это просто сдвинет весь паттерн на некоторую величину; это не изменит того факта, что расстояние от пика до пика по-прежнему составляет λ .Потому что то, что происходит как функция времени, как мы видели в очень общем виде, заключается в том, что вся эта модель будет скользить вправо. Итак, я хочу совместить эту картинку с динамичной картиной, сказав, если вы сейчас меняете время, представьте, что это скользит мимо. Если вы сидите где-то здесь или в какой-то точке, это будет для вас высотой, и со временем это будет высота, и это будет высота, и это будет высота, и это будет высота; все эти вещи пройдут мимо того места, где вы находитесь.

Итак, давайте теперь спросим: «Как это выглядит для человека, сидящего в определенном месте, в зависимости от времени?» Другими словами, волны создаются в океане.Допустим, их отправляют к берегу. Вы стоите на одном месте; волна пройдет мимо вас. Итак, вы будете качаться вверх и вниз, и это то, что я хочу понять. Итак, я выбираю место. Я выбираю x = 0 для удобства, затем ψ при x = 0, как функция времени выглядит как A cos ωt . Я не пропустил знак минус; для косинуса не имеет значения, если вы измените угол на минус угла. Итак, на этот раз постройте тот же график зависимости от времени и спросите, что происходит.Ну, вы начинаете с максимума и качаетесь вверх и вниз. Это изображение в одной точке, где вода или веревка поднимаются и опускаются. Поэтому нам нравится называть это от одного максимума до следующего максимума периодом времени [T]. Это время, в течение которого волна повторяется. Из этого следует, что ω , умноженное на период времени, равно 2 π , потому что, когда я приравнял t к периоду времени, я перешел от этого максимума к этому максимуму. Следовательно, ω равно 2 π на T ; другими словами k и ω , которые мы вкладываем в волну, связаны с периодом времени и длиной волны через эту обратную формулу. Итак, если хотите, вы можете записать волну как A cos ( 2 πx/λ - 2 πt/T) . Это строго эквивалентно, вы пишете это так, как вам нравится. Отсюда ясно, что когда x изменяется на λ , с косинусом ничего не происходит, потому что, когда x изменяется на λ , вы добавляете к косинусу 2 π . Здесь ясно, что если к маленьким t прибавить количество времени big T , ничего не произойдет, потому что 2 π не имеют значения.Итак, это делает очень ясной периодичность в пространстве и времени; но это более компактно, потому что, если мы не хотим переносить 2 π и λ в этой сложной форме, мы даем новое имя 2 π над λ и 2 π над Т .

Хорошо. А скорость волны? Помните, что это удовлетворяло этому условию, поэтому ω больше k . Но теперь давайте запишем это с точки зрения этих новых парней, 2 π на T разделить на 2 π на λ , будет λ на T . Итак, скорость этой… Эта волна называется синусоидальной, косинусоидальной или плоской волной. Вы должны понимать, что волны в воде и волны в струне всегда имеют скорость. Если вы потянете за струну и отпустите ее, слева направо будет двигаться небольшая вспышка. Но не каждая волна имеет длину волны или период времени. Это специальная функция, которая имеет периодичность в x и t . Другими словами, если вы пойдете к озеру и бросите камень, он пошлет несколько волн, и через некоторое время они разойдутся.Это не будет повторяться снова и снова. Но если вы хотите, чтобы волна существовала всегда, во всем пространстве, вы должны продолжать волновать воду. Это то, что мы здесь представляем, как источник этой волны, чтобы продолжать производить эти волны слева направо. Итак, вы должны помнить, что вообще каждая волна на струне или в среде имеет скорость, но не каждая волна имеет длину волны или период времени. Любой импульс, идущий слева направо со скоростью v , является возможным смещением среды. Это особенно простая ситуация, которую мы изучаем. В этой простой ситуации скорость связана с длиной волны и периодом времени таким образом, или вы также можете записать ее как λ , умноженное на частоту. Итак, это очень легко запомнить, потому что если вы пытаетесь получить скорость, это будет некоторое расстояние за некоторое время, единственное расстояние, которое вы можете представить для периодической волны, — это длина волны; единственное время, о котором вы можете думать, это время. Получается, что λ над T на самом деле просто скорость.

Вот еще один способ понять это. Предположим, у меня есть нить, уходящая в бесконечность, и я ловлю ее за этот конец и начинаю шевелить этой ниткой. Когда я начну шевелить этим, эти импульсы будут перемещаться — допустим, они достигнут этой точки. Подождем еще секунду. Еще за одну секунду я бы изготовил еще несколько таких импульсов, и волна будет выглядеть вот так. Сколько импульсов я бы сделал в секунду? ф ; какой длины каждый из них, λ ? Итак, вот насколько волна продвинулась за одну секунду; вот почему это скорость. Вы создаете объекты размером λ , f за раз, f в секунду, и выталкиваете их; так что фронт волны проходит расстояние λf за одну секунду, то есть скорость, это один из способов понять, почему λf равно v .

Глава 3. Энергия волн и передаваемая мощность [00:17:39]

Итак, теперь я рассматриваю другой аспект этих волн, а именно энергию волны. Прежде всего, вы должны понимать, что вибрирующая струна имеет некоторую энергию по сравнению со струной, которая не вибрирует.Итак, у вас есть интуитивное ощущение, что вибрации являются источником энергии. Теперь я хочу рассчитать энергию струны, колеблющейся по вот этой формуле [указывая на доску]. Теперь, если это бесконечно длинная струна, энергия в ней бесконечна, поэтому вы не определяете энергию бесконечно длинной струны, вы определяете энергию куска струны; на самом деле вы говорите об энергии на единицу длины. Итак, если вы возьмете струну, она уже давно вибрирует, и волны наработаны слева, они ушли далеко вправо, нам все равно, насколько далеко. Возьмите часть нити длиной 90 380 d x 90 381 и спросите: «Сколько в ней энергии?» Мы уже видели, что если вы сидите в одной точке, струна просто движется вверх и вниз. Он выполняет простое гармоническое движение. Когда струна полностью вытянута, она похожа на максимально растянутую пружину. Вот когда струна останавливается, разворачивается и возвращается обратно; когда струна пришла в горизонтальное положение, это нормальное положение равновесия для массы и пружины, именно тогда она движется быстрее всего, и промахивается, и уходит в другую сторону, и ходит туда-сюда.Таким образом, каждая часть струны совершает простое гармоническое движение — это довольно очевидно.

Итак, нам просто нужно записать энергию. Итак, как вы пишете энергию? Энергия будет либо кинетической, либо потенциальной, либо их суммой. Теперь вы можете найти энергию, когда захотите, потому что она постоянна. Давайте найдем ее, когда скорость максимальна, как для гармонических осцилляторов, это все равно, что найти скорость массы, которая только что отклоняется от нормального положения, x = 0. Там вся энергия — это кинетическая энергия, это ½, мкдх — это масса отрезка, на который я смотрю. Какая максимальная скорость? Вы, ребята, помните из гармонических осцилляторов, какова максимальная скорость, которую имеет гармонический осциллятор, движение которого определяется этим? Ага?

Студент: [неразборчиво]

Профессор Рамамурти Шанкар: Да, ωA . Это… Вы получаете образование в Йельском университете. Так вот разница между 40 000 долларов и 10 000 долларов в том, что это не w , а ω [смех].Хорошо? Между прочим, я не смог заставить ни одного из своих детей сказать ω ; они продолжают говорить w . Я пытаюсь добиться большего успеха с этим классом, чем со своим потомством. Но если вы отправитесь во внешний мир, если вы поговорите с любым физиком, если вы скажете w , они подумают, что вы говорите о ширине чего-то. Итак, вы должны сказать ω , так что греческий алфавит необходим для общения. Итак, это Aω — это максимальная скорость, и я должен возвести ее в квадрат.Теперь это энергия отрезка длиной dx . Итак, то, что мы обычно определяем, — это величина, называемая little u , и это энергия на единицу длины. Это означает, что просто разделите на dx , и вы получите ½ μ , A ² , ω ² . Это просто кинетическая энергия отрезка единичной длины. Это полная энергия, но я решил вычислить ее, когда она полностью кинетическая. Да?

Студент: [неразборчиво]

Профессор Рамамурти Шанкар: µ — это масса на единицу длины.Ты понимаешь? Вы берете нить, находите ее массу и делите на длину. На сантиметр или метр приходится столько массы, что это μ . Вот почему, если вы вернетесь к выводу волнового уравнения, мы думали о μ .

Хорошо. Теперь мы можем задать другой вопрос: «Какова мощность, посылаемая в эту волну человеком, возбуждающим среду?» Видите, нить привязана к бесконечно удаленной точке. Но, скажем, она начала колебаться некоторое время назад, и это часть струны, которая пришла в движение, и я все еще трясу ее здесь.Позвольте мне подождать одну секунду. Если я подожду одну секунду, эта часть струны теперь активируется, и какая энергия содержится в дополнительном сегменте? Это энергия на единицу длины, ½ мкА ² ω ² , умноженная на скорость. Это сила, которую я должен отдать, чтобы непрерывно производить эту волну. Вы, ребята, следите за этим? Если я подожду одну секунду, отрезок длиной 90 380 v 90 381 теперь начнет двигаться в передней части, потому что волна создается мной и отправляется в среду.Расстояние, которое он проходит за одну секунду, составляет v , и весь этот дополнительный сегмент теперь вибрирует с этой энергией на единицу длины. Итак, это дополнительная энергия в секунду, которую я должен отдавать, и это сила. Эта сила обеспечивается человеком, трясущим струну. Особое свойство жизни в одном измерении состоит в том, что эта волна не уменьшается по амплитуде. Вы можете пройти 10 миль, 100 миль от меня, амплитуда все еще A , которую я произвел здесь. Это потому, что вся энергия идет по этой линии.Это как-то нетипично.

Что обычно происходит, когда вы живете, когда вы принимаете во внимание вибрации, такие как звук, в двух или трех измерениях, если у вас есть башня, на вершине которой вы ставите громкоговоритель, просто производящий шум, энергия излучается концентрически. круги. И сила в источнике теперь распространяется на все большие и большие сферы. Итак, в трех измерениях у нас есть понятие интенсивности, которое представляет собой мощность на единицу площади. Я хочу сказать, что если у вас есть динамик, который излучает звуковые волны, я беру окно размером один метр на один метр и держу его перед собой, и я спрашиваю, сколько энергии проходит через него за одну секунду? интенсивность.У вас нет понятия в одном измерении, потому что вы не можете удерживать окно в одном измерении. Три измерения, вы берете небольшой квадрат, один на один метр, и определяете интенсивность как мощность на единицу площади. Конечно, он не должен быть больше одного метра. Вы можете взять крошечный квадрат, при условии, что вы разделите его на площадь крошечного квадрата, то есть на это. Итак, как вы думаете, что произойдет, если на платформе будет установлен динамик, излучающий мощность P ? Интенсивность, которую вы получите там, где вы находитесь, надеюсь, вы понимаете, будет просто [ P над] 4 πr ² , где r — радиус этой сферы, а вы находитесь на расстоянии от центра; и сила уходит равномерно во все стороны, и ваша доля на всю сферу составила P ; доля единицы площади на сфере равна P , деленное на 4 πr ² .И измеряется в ваттах на квадратный метр. Да?

Студент: [неразборчиво]

Профессор Рамамурти Шанкар: Этот? Как вы думаете, что еще должно быть в нем? T для периода времени, почему?

Студент: [неразборчиво]

Профессор Рамамурти Шанкар: Энергия на длину. Но если я подожду одну секунду, волна пройдет расстояние v раз за одну секунду. Итак, дополнительная энергия, которую я отдавал каждую секунду, должна платить за против дополнительных метров.

Студент: [неразборчиво]

Профессор Рамамурти Шанкар Да, это энергия в секунду, это мощность, это верно. Итак, если вы проверите свои единицы, вы обнаружите, что у них есть энергия в секунду. Итак, это называется интенсивностью. А для звука у нас есть другой способ измерения интенсивности. Мы определяем нечто, называемое бета ( β ), которое в 10 раз больше логарифма интенсивности, деленной на стандартную интенсивность. Стандартная интенсивность имеет значение от 10 до минус 12 ватт на квадратный метр.И это называется количеством децибел. Итак, вы измеряете громкость звука в децибелах. Вы, должно быть, слышали это повсюду. Вы посмотрите, в вашем усилителе будет столько децибелов. Итак, о чем говорит дБ? дБ говорит, что ваш динамик издает какую-то энергию; стой где хочешь, на определенном расстоянии от динамика, смотри, сколько мощности проходит мимо единицы площади, это числитель, деленный на стандартное число. Люди все согласились разделить по стандарту; затем возьмем логарифм этого по основанию 10 и умножим на 10.Это называется числом децибел.

Так, например, если ко мне пришла мощность, скажем, 10 минус 11 ватт на квадратный метр, то I сверх I ₀ будет 10 минус 11, деленное на 10 минус 12, что будет 10 к 1; а логарифм 10 к 1 равен всего 1, а β будет 10 дБ. Таким образом, звук в 10 децибел в 10 раз больше стандартного звука. Но вот что интересно. Допустим, интенсивность составляет от 10 до минус 8 ватт на квадратный метр.Это в тысячу раз сильнее, чем это. Но давайте посмотрим на β . β становится 10 log от 10 до 4 теперь; потому что 10 минус 8 разделить на 10 минус 12 равно 40. Таким образом, когда интенсивность изменяется от некоторого числа к чему-то в тысячу раз большему, децибел изменяется от 10 до 40. Децибел растет гораздо медленнее, чем фактическая интенсивность; на самом деле децибел отслеживает, сколько нулей в степени, она растет логарифмически. Таким образом, каждый раз, когда я добавляю дополнительный 0 к степени, вы переходите от 10 к 100, от 100 к 1000, децибел увеличивается просто от 10 до 20, от 30 до 40.Вот почему 80 децибел могут быть невероятно громкими, 80, 90, 100; 100 — очень болезненное число децибел. И я считаю, что люди используют децибелы, потому что человеческое ухо способно воспринимать весь диапазон интенсивности и слышать его. Способность уха слушать интенсивность — вы можете подумать, что вы слышите очень узкую полосу частот, — вы можете слышать очень широкую полосу, где интенсивность колеблется в пределах нескольких степеней 10. В этом случае вместо того, чтобы иметь дело с числами, которые пройти весь путь от 10 до минус 5 до 10 плюс что-то, если вы имеете дело с логарифмом числа, то это более управляемо.Таким образом, вы можете представить тривиальные задачи, связанные с нахождением β или с учетом β , нахождением интенсивности и так далее.

Хорошо, теперь я закончил с основными свойствами волн. Децибелы — это свойство только звука, вы не применяете его к свету. И вся стандартная интенсивность I ₀ – интенсивность хорошо определена для всего; даже электромагнитные волны имеют интенсивность; это мощность, приходящаяся на единицу площади. Но применительно к звуку, если вы возьмете журнал и умножите его на 10, это будет уровень звука в децибелах.

Глава 4. Эффект Доплера [00:30:02]

Хорошо, теперь о другом совершенно другом свойстве распространения волн, которое я собираюсь снова применить к звуку, — это знакомый эффект Доплера. Итак, эффект Доплера — это хорошо известное явление: если у вас есть источник определенной частоты, например, сирена в пожарной машине, когда пожарная машина приближается к вам, вы слышите более высокую частоту, а когда она проезжает мимо вас, вы слышите более низкую частоту, и мы просто хотим знать, почему и насколько.Итак, чтобы продолжить, я хочу напомнить вам соотношение λ, умноженное на f, равно v. Так что мы запомним это. Итак, давайте возьмем источник, который стоит на месте, а вы стоите здесь и слушаете звук. Волны проходят мимо вас, и вы видите определенную длину волны. Это расстояние от одного гребня до другого. Теперь предположим, что источник движется вправо с определенной скоростью u; u - скорость источника. Так как же выглядит узор? Нетрудно представить, что, испустив один гребень, он смещается вправо, прежде чем испустить второй гребень.Таким образом, рисунок будет сжат в прямом направлении, как здесь. Таким образом, волны будут раздавлены, потому что интервал был λ, но теперь он меньше λ, потому что он сдвинут вправо, чтобы испустить второй гребень; так расстояние от гребня до гребня. Новое λ, которое я называю λ′, будет равно λ минус расстояние, которое источник проходит за это время. За время, необходимое для испускания еще одного импульса. Это период времени. Поэтому позвольте мне записать это как λ минус u над f, потому что T равно 1 над f.

Итак, какую новую частоту я услышу? Новая частота, которую я услышу, будет равна скорости, деленной на новую длину волны. Между прочим, вы должны понимать, что даже если источник движется вправо, скорость звука при этом не меняется. Движущийся грузовик не издает звука при увеличении скорости в прямом направлении или снижении. Скорость звука определяется средой, в которой он распространяется. Если среда воздух, он может двигаться только с этой скоростью. Таким образом, у вас нет новой скорости, когда вещь начинает двигаться. Скорость одинакова в воздухе, пока воздух не движется. Итак, давайте напишем это как v над λ минус u над f; умножьте верх и низ на f.Итак, мы записываем это как f, умноженное на что-то, то есть v, деленное на λ f минус u, и мы возимся с этим и записываем как v, деленное на v минус u, потому что λ f равно v; и разделите верх и низ на v. Это то, что вы найдете в любом учебнике. Поэтому я не хочу слишком долго вдаваться в подробности. Основная хитрость заключается в написании этого уравнения. Как только вы это сделаете, все остальное будет просто алгеброй.

Суть в том, чтобы понять, что волны хрустят, потому что, когда вы испускаете гребень и устремляетесь к этому гребню и испускаете второй гребень, вы уменьшаете расстояние на свою скорость, умноженную на время между такими выбросами, что время вибрации сирены. Итак, это формула. Частота - это нормальная частота, деленная на 1 минус что-то. Так что один минус что-то меньше 1. Таким образом, частота будет расти. Если вы хотите увидеть, что происходит здесь, за этой вещью, у вас есть возможность сделать тот же расчет позади, и я думаю, совершенно очевидно, что вы обнаружите, вы получите 1 плюс что-то. Поэтому мы запишем оба решения как минус или плюс. В одном случае частота будет увеличена; в другом случае частота будет снижена. Таким образом, один из способов думать об этом — если источник приближается к вам, используйте знак «минус»; если источник уходит от вас, вы используете знак плюс.Но вы должны хотя бы интуитивно знать, какой знак выбрать. Вы должны знать, что если источник приближается к вам, частота будет повышаться, а если он удаляется от вас, частота будет снижаться. Итак, вы выбираете знак, руководствуясь здравым смыслом. У кого-то был вопрос в спину. Да?

Ученик: При относительной скорости меняется ли это для света?

Профессор Рамамурти Шанкар: Ah. Релятивистские скорости, много чего происходит, это верно. Работая со светом, нужно быть очень осторожным.Скорость света будет скоростью света, но частота изменится по многим причинам. Во-первых, часы скорой помощи и ваши часы больше не согласуются, поэтому возникает нечто, называемое поперечным доплеровским смещением, когда даже если оно не приближается к вам, не удаляется от вас или движется по кругу, вы сидите. в центре. Он идет по касательной, поэтому он не идет к вам или от вас, вы все равно почувствуете доплеровский сдвиг. Это потому, что это движущиеся часы, и поэтому они будут замедляться.Итак, релятивистские задачи более сложны. Да?

Студент: Как это относится к звуковым ударам?

Профессор Рамамурти Шанкар: Итак, звуковой удар приходит, в следующем: f ′ равно f , деленное на 1 минус u на v . Позвольте мне украсить формулу, написав использование s , где s означает источник. Хорошо, когда источник движется, это формула. В теории относительности таких формул было полно, но мы никогда не беспокоились о том, что происходит, когда знаменатель обращается в нуль, потому что вы просто не можете приблизиться к скорости света.Вы можете приблизиться к нему, но вы не можете достичь его. Но скорость звука вовсе не предел, и у вас может быть машина скорой помощи или самолет, который в конечном итоге будет двигаться быстрее. И вот тогда представьте, что волны хрустят, пока все гребни не навалятся друг на друга, и вот тогда раздается звуковой удар. И если вы движетесь быстрее, чем это, то, как вейвлеты выходят из вас, так что вы оставляете за собой след, перед вами ничего нет. Итак, если реактивный самолет приближается к вам со скоростью, превышающей скорость звука, вы не успеете уйти с дороги, потому что он ударит вас до того, как вас ударят звуковые волны.Итак, звук не является абсолютным пределом. Итак, есть вероятность, я имею в виду, что каждый раз, когда вы едете на Конкорде, ну, не больше, но когда вы это делаете, вы пересекаете эту штуку довольно скоро после взлета, потому что вы едете в несколько раз быстрее, чем скорость звука.

Хорошо, последнее, что я хочу сделать с допплером, это противоположное, где сирена излучает красивые сферические волны, но вы спешите навстречу сирене. Вы движетесь со скоростью u , суб-наблюдатель [ u ₀ ].Тогда что происходит? Итак, давайте посмотрим, что делать. Какова частота появления гребней? Если вы сидели и ничего не делали, вы увидите их на нормальной частоте. Но теперь вы есть, эти волны разнесены на расстояние λ друг от друга, но ваша скорость относительно звука теперь равна u ₀ + v , ваша относительная скорость. Звук движется вправо, вы двигаетесь влево. Итак, относительно этих гребней вы мчитесь со скоростью u ₀ + v .А гребни разнесены на расстояние λ ; нет ничего плохого в расстоянии между ними; они такие же, как показано здесь. Вы просто спешите им навстречу сейчас, со своей стороны. Итак, сколько вы перехватите за секунду, как это; это относительная скорость и это λ . Итак, давайте напишем так: u _{0 +} v ; λ = v разделить на f . Итак, понесу f наверх. И что вы можете написать как f раз 1 + u ₀ над v .Итак, при движении к источнику в числителе появляется поправочный коэффициент; когда источник движется к вам, в знаменателе появляется поправочный коэффициент. Вы должны использовать здравый смысл, чтобы увидеть, есть ли плюс или минус и так далее. Совершенно очевидно, что если вы спешите навстречу волнам, это плюс; если убегаешь от волн - минус. Затем вы можете продолжать и продолжать спрашивать, что происходит, если вы двигаетесь, и машина скорой помощи тоже движется; затем вы можете комбинировать формулы. Но я не хочу этого делать, это не весь курс, посвященный теории звука, а просто для того, чтобы рассказать вам, как рассуждать в двух частных случаях, движении источника и движении наблюдателя.

Глава 5. Суперпозиция волн [00:38:58]

Итак, остальная часть класса сосредоточится на одном важном свойстве волн. Итак, все время я буду заниматься только одним важным свойством волн, связанным с интерференцией волн. Посмотрите на волновое уравнение, которое я записал. Это линейное уравнение. Ты видишь это? Не дайте себя обмануть этим d ² ψ . Это не делает его квадратичным; это первая степень ψ с обеих сторон.Затем проделайте в уме следующее упражнение. ψ ₁ — раствор, ψ ₂ — раствор. Сложите два уравнения. Вы можете проверить, что ψ ₁ + ψ ₂ также является решением. Итак, у этих волн также есть свойство, которое на самом деле означает следующее: если вы издаете какой-то звук и посылаете какие-то волны, они создают определенный узор, который распространяется в пространстве. Затем я выключаю вас и включаю другой динамик здесь; скажем, динамик издает звук.Если вы и динамик издаете звук одновременно, то перемещение воздуха там, где я нахожусь, будет просто суммой двух. Таким образом, если одна причина производит одно следствие, вторая причина производит второе следствие, тогда обе включены; волна, которую они произвели, будет просто суммой. Вы можете просто добавить их, потому что это удовлетворяет волновому уравнению. Итак, все, что я собираюсь делать с этого момента и до конца, — это использовать различные ситуации, в которых я собираюсь добавлять волны.

Итак, самая простая задача следующая.Выберите определенное место. Вы просто сидите и слушаете две волны. Итак, вы не собираетесь рассматривать волну как функцию пространства. Это функция времени; кто-то создает волны и посылает их вам. Первая волна имеет вид ψ ₁ = A cos ω ₁ t . Это второй источник звука, который равен A cos ω ₂ t. Я выбрал два, чтобы они имели одинаковую амплитуду, но не обязательно одинаковую частоту. Вы хотите добавить эти два, и вы хотите увидеть, что вы слышите.Итак, то, что вы услышите, будет ψ ₁ + ψ ₂ , что будет A cos ω ₁ t + cos ω ₂ 1 t . Теперь вы можете выполнить тригонометрические тождества и выяснить, что произошло, но вам нужно немного подумать о том, что произойдет. Подумайте об этих двух волнах. Если они имеют одинаковую частоту, это тривиально, верно? Если ω ₁ = ω ₂ , ψ = 2 А cos ωt ; где ω — общая частота.Это просто означает, что они усиливают друг друга. В каждое мгновение вы получаете вдвое больше, чем раньше. Но если частоты не равны, то изначально они в шаге. Этот косинус равен 1, и этот косинус равен 1, а амплитуда равна 2 A . Со временем ω ₁ t и ω ₂ t начинают различаться, поэтому косинусы больше не совпадают. И что может случиться через некоторое время, так это то, что два косинуса смещены на половину периода или угол между ними равен π .Тогда фактически отменят. Затем, если вы подождете достаточно долго, опять же, они будут идти в ногу.

Один из способов представить это — представить двух бегунов, бегущих по дорожке. Если у них немного разные скорости, то они стартуют вместе, идут кругом, и один начинает отставать, отставать от другого, и они будут в разных частях круга, и придет время, когда они будут в противоположных частях круга. Когда они находятся в противоположных частях круга, угол или разница между ними составляет 90 380 π 90 381, и тогда мы говорим, что они компенсируются.Если подождать достаточно долго, они снова выстроятся в очередь, но с одной разницей: один парень сделал бы на один оборот больше, чем другой; то снова они будут в ногу и не в ногу. Это то, что вы ожидаете от формулы. Итак, вам нужно вернуться и использовать тригонометрическую формулу. И ответ, 2a COS (Ω ₁ - ω ₂ ,) более 2 раз T , Times COS (Ω ₁ + Ω ₂ ), более 2 раз т .Это говорит, что cos A - cos B равно 2 cos A - B больше 2, cos A - B больше 2.

Итак, нас интересует случай, когда ω ₁ почти равно ω ₂ , поэтому две частоты очень близки. Типичная ситуация — у вас есть настройщик пианино, настройщик ударяет по вилке, она вибрирует на какой-то частоте, может быть, 440 герц, а потом ваше пианино немного отклоняется, может быть, 439. Какой звук вы слышите, когда складываете их вместе? Что ж, давайте посмотрим на это.Если ω ₁ - ω ₂ очень мало, то этот косинус здесь меняется очень и очень медленно; этот косинус колеблется примерно на средней частоте двух частот. Итак, если один был 401, а другой был 399, это колеблется на 400, но здесь ω ₁ - ω ₂ равно 2, деленное на 2 равно 1. Таким образом, оно колеблется намного медленнее. Итак, что вы получите, если запланируете это? Думайте обо всем этом как об амплитуде, которая медленно меняется со временем.Итак, мы сделали это на днях, когда я написал e минус γ , t над 2 раза некоторые cos ωt ; это огибающая, которая управляет амплитудой. В тот день он падал монотонно, а здесь будет колебаться очень медленно. Итак, позвольте мне построить этот косинус здесь. Это всего лишь амплитуда, но с такой амплитудой этот парень колеблется как сумасшедший. Итак, я хочу сказать, что у вас будут такие колебания. Итак, будет громко, тихо, громко, тихо, громко, тихо.Итак, вы услышите еще один бит, это называется бит, в котором вы услышите гул, в котором вместе они добавляют и отменяют, добавляют и отменяют. И мы хотим рассчитать частоту биений.

Итак, первая догадка состоит в том, что частота биения равна (ω ₁ - ω ₂ ) на 2, потому что это то, что кажется здесь. Но на самом деле правильный ответ — частота биений — это просто ω ₁ — ω ₂ . И я скажу вам, почему. При t = 0, когда косинус имел значение 1, вы получили амплитуду 2 A .Подождите, пока ω ₁ - ω ₂ больше 2 не равно 2 π , а равно π , я имею в виду умноженное на t . Если вся эта комбинация равна π , это число становится отрицательным числом ψ 2 A , но это просто означает, что оно здесь. Но если вы умножите это огромное отрицательное число на косинус, оно по-прежнему будет очень сильно колебаться здесь, как и здесь. Другими словами, 5 cos ωt и -5 cos ωt имеют одинаковую амплитуду.Минус не меняет того факта, что у него большие отклонения от плюс 5 до минус 5. Другими словами, я предлагаю вам сравнить такой ответ: 5 cos 400 t , -5 cos 400 т . Постройте это и постройте это; вы обнаружите, что если 400 t — это очень быстрые колебания, у них такая же большая амплитуда, как у этого. И ухо только улавливает амплитуду; ухо больше ничего не улавливает. Ухо просто улавливает громкость звука, поэтому он будет казаться громким сейчас и громким там.Но как только вы перешли отсюда сюда, вам нужно было всего лишь изменить аргумент всего этого на π , а не на 2 π . Вот почему частота биений оказывается просто разницей частот.

Или я прошу вас сделать что-то другое, если вас это не устраивает. Идите домой и сделайте следующее. Один вибрирует как ω ₁ t , другой вибрирует как ω ₂ t . Узнать, когда разность между фазовыми углами равна π ; вот тогда этот парень и тот парень отменят друг друга; это когда ты приходишь сюда.Затем вы спрашиваете себя, когда они вернутся туда, где они были, 2 π . Спросите, когда разница в фазе составляет 2 π , и вы обнаружите, что это происходит на той частоте, о которой я вам говорил. Итак, можете ли вы, если вы нашли этот фактор 2 сбивающим с толку, вы должны понять аргумент, который я вам привел. Что для того, чтобы эта штука звучала так же громко, как она звучала при t = 0, необязательно, чтобы это число доходило до 2 А , достаточно хорошо, если оно доходит до минус 2 А ; потому что минус 2 A , умноженный на быстрый косинус, который колеблется на вершине минус 2, также будет выглядеть как плюс 2; вы не можете сказать разницу.

Итак, частоты ударов используются для настройки инструментов. Итак, что делает настройщик фортепиано, так это ударяет по вилке, ударяет по этой штуке на фортепиано и слушает их, если они не совсем совпадают, вы услышите медленный гул, интенсивность которого увеличивается и уменьшается. Вы продолжаете возиться с ним, пока он не исчезнет. Это когда вы сопоставляете две частоты. Итак, частоты биений имеют много интересных приложений в физике. На самом деле, когда вы идете на радиостанцию, вы знаете, что это за станция, 960 мегагерц или что-то в этом роде.Ваши уши этого не услышат. Это не частота звука; это частота сигнала, называемая несущей. Затем вы модулируете этим, чем-то, и создаете бит. Это биты, которые мы можем слышать. Во всяком случае, это что-то довольно простое, тригонометрическая задача.

Глава 6. Конструктивная и деструктивная интерференция, эксперимент с двумя щелями [00:48:57]

Теперь я решу немного более сложную задачу, в которой я собираюсь добавить две волны.И мы сделаем гораздо больше этого в следующем семестре, но сейчас вы должны иметь первый проход по этой теме; это называется экспериментом с двумя щелями. У вас есть источник волн здесь. Источник находится так далеко, что вы можете считать их просто параллельными линиями, и вы наткнетесь на двойной промах, а именно на непроницаемый барьер с двумя дырами в нем. Если хотите, представьте себе это как волны воды, и вы возвели стену в своем имении, где есть две дыры. Итак, вы знаете, что произойдет, верно? Эти две дыры сами начнут генерировать свои собственные волны.И вы хотите встать здесь на очередь, ходить вверх и вниз и спрашивать, что вода делает там, где я. Итак, сначала возьмите точку ровно посередине между этими двумя точками. Что вы получаете? Вы получаете сигнал отсюда, и вы получаете сигнал отсюда. Один сигнал проходит таким образом; другой идет туда [показывая на схему на доске]. Вы понимаете, что из-за того, что вы расположены симметрично, два сигнала будут идти к вам синхронно? Потому что они были на шаг впереди, когда этот фронт попал в эту двойную дыру и начал создавать свои собственные волны.Итак, эти волны излучаются в такт, они маршируют и приходят к вам без, с такой же временной задержкой. Итак, когда гребень от этого доходит до вас, гребень от этого доходит до вас, корыто достигает, корыто достигает.

Итак, вы просто удвоите ответ. Итак, здесь вы получите ψ станет 2ψ или A станет 2 A . Если у вас есть амплитуда A от этого и A от этого, вы получите здесь 2 A . Так что вода там будет очень мутной.Если вы живете на маленькой лодке, она будет раскачиваться вверх и вниз с амплитудой 2 A . Если вы перекроете это отверстие, амплитуда вернется к той же амплитуде от одного отверстия, будет A ; 2 дает вам 2 A . Это то, что имеет много здравого смысла. Но выберите здесь другую точку, я вам скажу, как выбрать эту точку, чтобы эти две длины не были равны. Итак, назовем эту длину L ₁ и длину L ₂ . Предположим, что L ₁ - L ₂ равно половине длины волны.Как известно, между каждыми двумя гребнями есть впадина, где функция минус амплитуда, на гребне равна плюс амплитуда. Таким образом, если вы находитесь на расстоянии половины длины волны, когда появится гребень отсюда, появится впадина отсюда. Когда отсюда появится корыто, отсюда появится гребень. На самом деле, в каждое мгновение, что бы ни пришло сюда, сюда придет минус этого.

Давайте поймем почему. Путь распространения волны составляет 2 πx на λ , где x , скажем, отсчитывается отсюда.Для другого парня это 2 π умножить на x ′ на λ , или x ′ при такой длине. Если эта длина больше, чем эта, на λ на 2, если это x плюс λ на 2, посмотрите, что вы получаете дополнительно: 2 π умножить на λ на 2 разделить на λ , на самом деле косинус π плюс то, что получил другой человек. Но косинус π, добавленный к π , добавленный ко всему, превращает косинус в минус.Таким образом, можно думать об этом, когда вы на полволны отстаете от исходящего отсюда, что бы ни делал этот, он делает меньше того. Потому что сдвиг на половину длины волны добавляет к косинусу π ; добавление π к косинусу изменяет его на минус его значение в каждый момент времени. Мало того, что гребень идет с впадиной, а впадина идет с гребнем, каждое возможное смещение идет с минусом этого отсюда, и здесь вы ничего не получаете. Итак, это называется интерференционным минимумом.Или мы говорим, что здесь вмешательство конструктивно, а здесь мы говорим, что вмешательство деструктивно.

Как найти точку деструктивного вмешательства? Это вопрос простой геометрии. Вы измеряете эту длину, и вы измеряете эту длину; возьмем разность и приравняем ее к λ на 2. Это первая деструктивная интерференция. Это очень интересный момент. Посмотрите, что он вам говорит. Там написано, что если вы будете сидеть здесь со своей лодкой, то лодка вообще не будет двигаться, хотя в этом месте есть две дыры, пропускающие волны.Это принцип шумоподавления. На самом деле вы можете компенсировать один звук другим звуком, если вы уменьшите второй звук на полпериода. Так что, если у вас была только одна дыра в стене, которую вы построили между вашим маленьким поместьем и пляжем, и волны отсюда раскачивали лодку, чудесным образом проделанная вторая дыра в нужном месте действительно могла успокоить воду, в которой вы являются. И в ту минуту, когда кто-то закроет одну из этих дыр, вода снова станет неспокойной там, где вы находитесь. Свойство волн состоит в том, что две волны могут ни к чему не привести, а одна волна не может, потому что у двух волн есть шанс работать друг против друга и уничтожаться.Это то, что вы должны получить очень прямо. Теперь, если я пойду дальше, пока не достигну точки, в которой разница между этими двумя длинами равна полной длине волны, тогда я снова вернусь к шагу. Конечно, полная длина волны означает, что они не имеют одинаковой длины, но это отличается от этого на целую длину волны. Это означает, что когда прибудет волна 13 ^th отсюда, прибудет 14 ^th или 12 ^th отсюда. Но нам все равно, пока хохол идет с хохолком; мы счастливы там, где мы есть.Итак, все становится – начните с конструктивного, деструктивного, конструктивного, деструктивного; он колеблется как выше, так и ниже средней точки. Да?

Ученик: Какова амплитуда волны после прохождения этой амплитуды [неразборчиво]

Профессор Рамамурти Шанкар: Возможно, это не обязательно должно быть то же самое. Все зависит от светосилы и так далее. Но что ясно из симметрии, так это то, что они имеют одинаковую амплитуду. На практике мы считаем, что амплитуда также будет такой же, потому что амплитуда должна быть непрерывной, когда вы проходите через щель.Вода не может подпрыгнуть на два дюйма перед щелью, а вдруг с другой стороны прыгнуть на разную длину. Амплитуда всегда непрерывна. Так что на самом деле эта амплитуда и та амплитуда будут равны. Вы также можете видеть из волнового уравнения, если ψ не было непрерывным; dψ/dx будет бесконечностью. В уравнениях нет места для бесконечности. ψ будет непрерывным; на самом деле – да?

Студент: [неразборчиво]

Профессор Рамамурти Шанкар: Здесь?

Студент: Да.

Профессор Рамамурти Шанкар: Вы не можете прочитать это уравнение, потому что оно очень плохо написано. Позвольте мне рассказать вам, что я пытался сделать. Cos 2 πx свыше λ ; давайте выберем определенное время, чтобы я не беспокоился о ωt . На самом деле, позвольте мне записать это как L ₁ . Другой cos 2 π , L ₂ /λ . Я добавляю две волны. Предположим, что L ₂ = L ₁ плюс половина длины волны.Тогда это становится cos 2 π L _1/ λ + π . Правильно ? L ₂ = L ₁ + λ/ 2. Это L ₁ . Если вы поместите λ /2, умноженное на 2 π , на λ , вы получите π . Затем вы должны понимать, что всякий раз, когда вы добавляете π к косинусу, вы получаете минус косинус без π . Там вы можете видеть, что этот парень производит сигнал, который как раз и является минусом этого парня.Я сделал это при t = 0, но вы можете поставить ωt к обоим. Но ничего не меняет того факта, что когда вы вычитаете те же ωt из 2, это ничего не меняет. Так что я не беспокоился о времени. Проблема здесь в пространственном несоответствии.

Ладно, теперь иногда эту формулу деструктивного и конструктивного вмешательства люди пишут так. Есть приблизительная формула, которая очень удобна. Правильный способ сделать это, конечно, просто измерить это расстояние и это расстояние и взять разницу, хорошо? Другими словами, если L ₁ - L ₂ = mλ , где m — целое число, 1, 2 и т. д., или плюс минус 1, плюс минус 2, то оно конструктивно.Если это половинное целое число, которое мы предпочитаем обозначать следующим образом: м + ½ λ , снова м = 0 плюс минус 1 и так далее, это разрушительно. Способ записи – m обычно является стандартным символом, который люди используют для целых чисел; m и n являются общими символами для целых чисел. Итак, если разность путей является целым числом, кратным λ , это безвредно; если это полуцелое число, кратное λ , это вредно, то есть разрушительно.