Программа ленглендса – Соединяя несоединимое

Соединяя несоединимое

В минувший вторник было названо имя лауреата Абелевской премии 2018 года — аналога Нобелевской премии для математиков. Им стал канадец Роберт Ленглендс, разработавший огромную программу соответствий между различными математическими теориями. Работы Ленглендса показали, что две такие разные области математики, как теория чисел и теория представлений, могут на самом деле оказаться тесно связаны. Размах программы Ленглендса огромен — до сих пор доказана лишь часть утверждений, входящих в нее. Значимость этих частных случаев для математики можно продемонстрировать простым фактом: за последние 20 лет трое ученых были награждены Филдсовской медалью за работы над программой Ленглендса.

Программа Ленглендса и следствия из нее оказались настолько широкими, что даже сам Роберт Ленглендс признавался, что не вполне понимает все работы в этой области. Мы пообщались с математиками, работающими в самых разных областях этой большой науки, и попытались выяснить, что же представляет собой программа Ленглендса. Чтобы лучше пояснить, что это такое, мы разбили материал на несколько отдельных историй, которые шаг за шагом помогут хотя бы частично понять всю красоту тонкой сети взаимосвязей между разными математическими областями, которую некоторые ученые называют «Великой теорией объединения математик».

Разобраться в программе Роберта Ленглендса нам помогли Никон Курносов (НИУ ВШЭ, UGA), Дмитрий Кубрак (MIT) и Владимир Потапов (Институт математики имени Соболева).

Роберт Ленглендс

abelprize.no

О взаимности и теории чисел

Как многие догадываются, математика не исчерпывается геометрией, алгеброй и основами математического анализа, преподаваемыми в школе и первых курсах технических вузов. К примеру, классическая теория чисел исследует различные закономерности объектов, похожих на обычные числа — целые, рациональные. Один из известнейших объектов теории чисел — простые числа.

Первый шаг к программе Ленглендса — квадратичный закон взаимности, утверждение, известное еще во времена Эйлера. Оно выглядит так:

Возьмем два разных простых числа P и Q, причем выберем их так, чтобы они при делении на 4 давали остаток 1 (это например 5, 13, 17, 37, 41). Попытаемся решить два уравнения x² ≡ Q (mod P) и x² ≡ P (mod Q). Оказывается, если хотя бы у одного из этих уравнений есть корни, то они автоматически есть и у второго, а если корней у первого уравнения нет, то их не будет и у второго уравнения. Это и называется взаимностью.

Выражения x² ≡ Q (mod P) и x² ≡ P (mod Q) читаются очень просто: «Есть ли такие целые числа x, что остатки при делении и Q, и x² на первое число (P) совпадают, и есть ли такие целые числа x, что их квадраты дают тот же остаток, что и P при делении на второе число (Q)».

Это утверждение связано с другим более простым фактом из теории чисел: оказывается, простые числа, дающие 1 в остатке при делении на 4, разложимы на сумму квадратов двух натуральных чисел. Например, 5 = 1

2+2², 29 = 5²+2².

Подобных законов взаимности в теории чисел огромное количество.

Галуа и подготовка ко второму шагу

Прежде чем мы сделаем следующий шаг, нам надо разобраться в том, с какими объектами, кроме привычных чисел может работать математика.

Одна из известных задач математики — поиск корней многочленов. С поиском корней квадратных многочленов все мы знакомы со школы — их легко найти с помощью дискриминанта. Выпишем, к примеру, корни такого уравнения: x² + x + 1 = 0. Нетрудно увидеть, что его корни x = –½ + (√–3)/2 и x = –½ – (√–3)/2. Внимательно посмотрев на эти числа можно обнаружить некоторую симметрию между ними — смена знака перед корнем в числе оставляет число корнем уравнения. Такая операция сродни привычным нам операциям симметрии, которые поворотом или отражением совмещают объект с самим собой. Для корней высших степеней смена знака меняется на поворот специального вида. К примеру, решения уравнения x

5=1 образуют правильный пятиугольник на комплексной плоскости, вписанный в единичную окружность. Заметил и исследовал эту симметрию впервые выдающийся французский математик Эварист Галуа.

Корни многочлена x⁵-1 на комплексной плоскости

Галуа указал на то, что разные симметрии, которые можно найти в корнях многочленов, можно объединять в группы. Для объектов, входящих в группу, можно ввести операцию, подобную умножению, причем результат умножения объектов группы тоже будет объектом этой группы. Всевозможные группы симметрий для корней многочленов так и называются — группами Галуа.

Интересно, что подход, связанный с симметрией корней многочленов, позволил Галуа объяснить важный факт из алгебры, теорему Абеля (в честь которого, кстати, и названа абелевская премия). Если для уравнений второй, третьей и четвертой степени мы можем выписать общее решение в радикалах (используя дискриминант или формулу Кардано), то для уравнений пятой степени это невозможно. Это связано со свойствами соответствующей группы Галуа.

Помимо групп Галуа ввел другое важнейшее понятие для теории чисел — числовые поля. Полями называются такие наборы объектов, для которых введены операции сложения, вычитания, умножения и деления. К примеру, простейшее поле — поле рациональных чисел (обыкновенных дробей). Какие бы два рациональных числа мы бы ни взяли, результат их сложения, умножения и деления окажется рациональным числом, а получить таким способом корень из двух нам никак не получится.

Однако мы можем расширить наше поле: добавить к нему корни каких-нибудь многочленов. Например, можно добавить тот самый корень из двух — корень многочлена x

2 — 2. Тогда все числа в поле будут иметь вид a+b√2 (a и b рациональные) и результат любой операции сложения, умножения и деления будет также сводиться к этому виду.

Мы можем заменить корень из двух на квадратный корень из минус единицы, мнимую единицу и получить числа вида a+bi. Можно даже добавить кубические корни из минус единицы и так далее. В результате получаются более сложные числовые поля, отличающиеся от поля рациональных чисел. И для них также можно ввести группы Галуа, описывающие операции симметрии (вращения, замены «+» на «-» и так далее), которые сохраняют поле рациональных чисел, но переставляют новые точки в расширенном поле.

В этой важной для объяснения программы Ленглендса части нашего рассказа нельзя не упомянуть о судьбе самого Галуа. Все перечисленные результаты математик получил в возрасте 16-20 лет, далеко опередив свое время. Но в возрасте 20 лет Эварист погиб на дуэли, по некоторым свидетельствам, связанной с любовной интригой.

О любви математиков к обобщению

Среди многочисленных шуток про математику есть одна особенно подходящая для этого рассказа. В ней один математик говорит, что придумал новую теорему, а другой угрожает ему тем, что уже придумал, как ее обобщить.

В теории чисел есть огромное число законов взаимности, похожих на квадратичный. Их можно формулировать для разных числовых полей (алгебраических расширений поля рациональных чисел), предложенных Галуа. Эмиль Артин, австрийский математик армянского происхождения, нашел способ обобщить квадратичные законы взаимности (и еще несколько известных законов взаимности) сразу на много разных числовых полей. Формулировка взаимности, правда, стала гораздо сложнее.

Взаимность Артина позволяет описать числовые поля с абелевой (называется она так, кстати, в честь вышеупомянутого Абеля) группой Галуа. Условие что группа абелева здесь означает то, что при перемножении элементов в этой группе можно переставлять множители местами — результат не изменится.

У каждой группы есть её векторные представления. Представление — это способ согласованным образом сопоставить каждому элементу группы матрицу, действующую на векторном пространстве. Векторное представление дает возможность выразить абстрактную алгебраическую структуру через что-то более геометричное, понятное и изученное. Для абелевых групп достаточно рассматривать одномерные представления.

Эмиль Артин смог определить так называемые L-функции для конечномерных представлений групп Галуа числовых полей, более того он доказал что каждому одномерному представлению однозначно соответствует характер Гекке, причем так, что L-функция представления совпадает с L-функцией этого характера.

Объяснить, почему это утверждение похоже на квадратичную взаимность довольно сложно. Из существования характера Гекке с такой же L-функцией следует что произведение некоторых элементов группы Галуа в представлении равно 1 — при правильном взгляде на вещи это оказывается естественным обобщением квадратичного закона взаимности.

Говоря об Эмиле Артине нужно упомянуть, что он решил полторы из 23 проблем Гильберта (семнадцатую целиком, и частично — девятую, если быть точным) и положил начало одной из красивых областей топологии — теории кос.

И тут пришел Ленглендс

Работая в Принстонском университете, Роберт Ленглендс построил новые, ранее неизвестные мероморфные («хорошие») L-функции для автоморфных представлений. Эти объекты были напрямую связаны с работой Артина и позволили математику сделать важнейший, третий шаг в нашем рассказе — собственно сформулировать гипотезы Ленглендса.

Будучи 30-летним адъюнкт-профессором в Принстоне Роберт Ленглендс пишет Андре Вейлю письмо, начинающееся так: «Если вы собираетесь прочитать эти чистые предположения, я буду вам очень признателен, если же нет — я уверен, у вас под рукой найдется мусорное ведро». В 17-страничном рукописном документе математик изложил гипотезы, обобщающие результат Артина на все числовые поля и n-мерные представления Галуа.

Записка к письму Роберта Ленглендса к Андре Вейлю

abelprize.no

Попытаться описать это обобщение можно следующим образом. Числовые поля, на которых рассматривается взаимность Артина, ограничены группами Галуа с одномерными представлениями. Гипотеза Ленглендса утверждает, что такую же взаимность можно получить и для полей с представлениями групп Галуа больших размерностей.

Формально гипотеза Ленглендса звучит так. Существует соответствие между

(1)   n-мерными комплексными линейными представлениями группы Галуа на заданном числовом поле F и

(2)   специальными представлениями n-мерной обобщенной линейной группы GL_n(A_F) с коэффициентами из кольца аделей F. По ним можно построить так называемые автоморфные формы.

Коротко повторим наш путь к классическому соответствию Ленглендса. Сначала мы говорили о взаимности двух уравнений. Потом уравнения заменились на характеры: группы Галуа и группы иделей соответственно. А в случае Ленглендса возникает соответствие еще более сложных объектов — автоморфных представлений полных линейных групп.

По сути, это соответствие между двумя представлениями. И, с одной стороны, представление строится по числовым характеристикам поля, а с другой – по линейно-алгебраическим. Это и есть соответствие, лежащее в основе всей программы Ленглендса.

Отвлекаясь от строгих математических формулировок, заметим, что гипотеза Ленглендса до сих пор доказана лишь в отдельных частных случаях. К примеру, гипотеза не доказана даже для случая рациональных чисел. Для одномерных случаев она является следствием теории полей классов, и этот результат близок к результату Артина. Для полей функций кривых над конечным полем и группы GL₂(K) эта гипотеза была доказана Владимиром Дринфельдом, за что в 1990 году он получил Филдсовскую медаль. Потом более сильный результат уже для всех GL_n(K) получил француз Лоран Лаффорг (Филдсовская медаль 2002 года). 

Кстати, одна из статей Лаффорга называется «Chtoucas de Drinfeld et applications». Да, это то, о чем можно подумать, один из объектов, введенных Дринфельдом, называется «штуками». 

В 2010 году за доказательство фундаментальной леммы об автоморфных формах медаль Филдса получил вьетнамец Нго Бао Тяу — он стал первым вьетнамцем, получившим эту математическую награду.

Что со всем этим делать

Программу Ленглендса сравнивают с Розеттским камнем. В будущем она может стать инструментом, позволяющим переводить утверждения одной области математики в другую область математики. Если мы сможем доказать все гипотезы Ленглендса, то у нас появится возможность переносить утверждения из автоморфных форм в теорию чисел. Но пока более существенной проблемой остается доказательство отдельных частных гипотез в программе Ленглендса. И они сами по себе приводят к важным результатам.

Например, частный случай гипотез Ленглендса для двумерных представлений (приходящих из эллиптической кривой) включает в себя гипотезу Таниямы-Шимуры-Вейля, ныне известную как теорема о модулярности. Частный случай теоремы о модулярности доказал Эндрю Уайлс. Это позволило ему завершить доказательство Великой Теоремы Ферма. Подробнее о том, как решали когда-то самую известную из нерешенных теорем в математике, можно прочитать в нашем материале «Кому поля не жмут».

Результаты Дринфельда и Лаффорга тесно связаны с теорией представлений над конечными полями, — а эта область математики имеет прямое отношение к современной криптографии.

Кроме арифметического соответствия Ленглендса (связывающего функциональный анализ и теорию чисел) были сформулированы и различные другие обобщения, к примеру, геометрическое соответствие Ленглендса. В этом году за работу над ним премию Вольфа получили  Владимир Дринфельд и Александр Бейлинсон.

Для геометрического Ленглендса есть даже специальный словарик соответствия, позволяющий «переводить» утверждения. Он выглядит примерно так. Группа Галуа соответствует фундаментальной группе алгебраической кривой. Представление — векторному расслоению с плоской связностью на этой кривой, и так далее. Кроме того, в нем есть специальное понятие зеркальности, важное для калибровочных полей в теоретической физике.

Вместо заключения

В целом, сама идея соответствия между двумя разными математическими объектами подарила и еще подарит и математике и физике много замечательных результатов. Яркими примерами являются всевозможные дуальности в теории струн — S-дуальность, T-дуальность, AdS/CFT соответствие. С их помощью можно переносить сложные математические построения из одних теорий в другие: например, переписать задачи квантовой хромодинамики в кварк-глюонной плазме языком теории струн.

Как часто бывает, математика помогает физикам (и не только) найти нужный язык и нужный аппарат для описания каких-то законов природы. И было бы здорово, если бы «Великая теория объединения математики» помогла наконец завершить «Великую теорию объединения» сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий в физике.

Владимир Королёв

nplus1.ru

Программа Ленглендса — Википедия

В математике программа Ленглендса представляет собой сеть далеко идущих и влиятельных гипотез о связях между теорией чисел и геометрией. Была предложена Робертом Ленглендсом в 1967 и 1970. Она стремится связать группы Галуа в алгебраической теории чисел с автоморфными формами и теорией представлений алгебраических групп над локальными полями и аделями. Программа Ленглендса, широко известная как самый крупный проект в современных математических исследованиях, была описана Эдвардом Френкелем как «теорией великого объединения математики»^[1].

Ленглендс получил за программу Ленглендса премию Абеля в 2018 году.

Контекст

Программа Ленглендса построена на разработанных ранее идеях: философия параболических форм, сформулированная несколькими годами ранее Хариш-Чандрой и Израилем Гельфандом в 1963, работы Хариш-Чандры по полупростым группам Ли, а в техническом плане — формула следа Сельберга и т. д.

Основная новизна работ Ленглендса, помимо технической глубины, состояла в гипотезах о прямой связи теории автоморфных форм и теории представлений с теорией чисел, в частности, о соответствии между морфизмами в этих теориях (функториальность).

Например, в работе Хариш-Чандры можно найти принцип, согласно которому то, что можно сделать для одной полупростой (или редуктивной) группы Ли, должно быть сделано для всех. Поэтому, как только была признана роль некоторых малоразмерных групп Ли, таких как GL(2){\displaystyle \mathrm {GL} (2)} в теории модулярных форм, и с ретроспективным взглядом GL(1){\displaystyle \mathrm {GL} (1)} в теории полей классов, путь был открыт как минимум к предположению о GL(n){\displaystyle \mathrm {GL} (n)} для общего случая n>2{\displaystyle n>2}.

Идея cusp form появилась из заострений на модулярных кривых, но также имела смысл, видимый в спектральной теории как дискретный спектр, контрастирующий с непрерывным спектром из рядов Эйзенштейна. Он становится гораздо более техническим для больших групп Ли, потому что параболические подгруппы более многочисленны.

Во всех этих подходах не было недостатка в технических методах, часто индуктивных по своей природе и основанных на декомпозиции Леви среди других вопросов, но поле было и остается очень требовательным^[3].

На стороне модулярных форм были такие примеры, как модулярные формы Гильберта, модулярные формы Зигеля и тэта-ряды.

Объекты гипотезы

Существует ряд связанных гипотез Ленглендса. Существует множество разных групп во многих разных областях, для которых они могут быть изложены, и для каждой области существует несколько различных вариантов гипотез^[2]. Некоторые версии гипотез Ленглендса являются неопределенными или зависят от таких объектов, как группы Ленглендса, существование которых недоказано, или от L-группы, которая имеет несколько неэквивалентных определений , Более того, гипотезы Ленглендса развивались с тех пор, как Ленглендс впервые изложил их в 1967 году.

Существуют различные типы объектов, для которых могут быть сформулированы гипотезы Ленглендса:

• Представления редуктивных групп над локальными полями (с различными подслучаями, соответствующими архимедовым локальным полям, p-адическим локальным полям и пополнениям полей функций)
• Автоморфные формы на редуктивных группах над локальными полями (с подслучаями, соответствующими числовым полям или полям функций).
• Конечные поля. Ленглендс первоначально не рассматривал этот случай, но его гипотезы имеют для него аналоги.
• Более общие поля, такие как поля функций над полем комплексных чисел.

Гипотезы

Существует несколько разных способов изложения гипотез Ленглендса, которые тесно связаны, но не являются очевидно эквивалентными.

Взаимность

Отправной точкой программы можно считать закон взаимности Артина, который обобщает квадратичный закон взаимности. Закон взаимности Артина действует в любом расширении Галуа алгебраического числового поля, группа Галуа которого является абелевой; он ставит в соответствие одномерным представлениям этой группы Галуа некоторые L-функции и утверждает, что эти L-функции идентичны некоторым L-рядам Дирихле или более общим рядам, построенным по характерам Гекке (то есть некоторым аналогам от дзета-функции Римана, например L-функциям Гекке). Точное соответствие между этими различными видами L-функций составляет закон взаимности Артина.

Для неабелевых групп Галуа и их представлений размерностью более чем 1 тоже можно определить естественным образом L-функции: L-функции Артина.

Проницательность Ленглендса заключалась в том, чтобы найти правильное обобщение L-функций Дирихле, что позволило бы обобщить формулировку Артина. Гекке ранее связывал L-функции Дирихле с автоморфными формами (голоморфных функций на верхней полуплоскости C{\displaystyle \mathbb {C} }, которые удовлетворяют некоторым функциональным уравнениям). Затем Ленглендс обобщил их на автоморфные каспидальные представления, которые являются определёнными бесконечномерными неприводимыми представлениями общей линейной группы GL(n){\displaystyle \mathrm {GL} (n)} над кольцом аделей Q{\displaystyle \mathbb {Q} }. (Это кольцо одновременно отслеживает все пополнения Q{\displaystyle \mathbb {Q} }, см. p-адические числа.)

Ленглендс связал автоморфные L-функции к этим автоморфным представлениям и предположил, что каждая L-функция Артина, возникающая из конечномерного представления группы Галуа числового поля, равна некоторой L-функции, возникающей из автоморфного каспидального представления. Это известно как его гипотеза взаимности.

Грубо говоря, гипотеза взаимности дает соответствие между автоморфными представлениями редуктивной группы и гомоморфизмами из группы Ленглендса в L-группы. Существует множество вариаций этого, отчасти потому, что определения группы Ленглендса и L-группы не являются фиксированными.

Ожидается, что это даст параметризацию L-пакетов допустимых неприводимых представлений редуктивной группы над локальным полем. Например, над полем вещественных чисел это соответствие является классификацией Ленглендса представлений действительных редуктивных групп. Над глобальными полями это соответствие должно дать параметризацию автоморфных форм.

Функториальность

В гипотезе функториальности утверждается, что подходящий гомоморфизм L-групп должен давать соответствие между автоморфными формами (в глобальном случае) или представлениями (в локальном случае). Грубо говоря, гипотеза об эквивалентности Ленглендса является частным случаем гипотезы функториальности, когда одна из редуктивных групп тривиальна.

Обобщённая функториальность

Ленглендс обобщил идею функториальности: вместо общей линейной группы GL(n){\displaystyle \mathrm {GL} (n)} можно использовать другие связные редуктивные группы. Более того, имея такую группу G{\displaystyle G}, Ленглендс строит двойственную группу LG{\displaystyle ^{L}G}, а затем для каждого автоморфного каспидального представления G{\displaystyle G} и любого конечномерного представления LG{\displaystyle ^{L}G}, он определяет L-функцию. Одна из его гипотез утверждает, что эти L-функции удовлетворяют некоторому функциональному уравнению, обобщающему функциональные уравнения других известных L-функций.

Затем он формулирует очень общий Принцип Функториальности. Для двух данных редуктивных групп и (хорошего) морфизма между соответствующими L-группами, Принцип Функториальности связывает их автоморфные представления так, чтобы они были совместимы с их L-функциями. Из этой следуют многие другие существующие гипотезы. Это характер конструкции индуцированного представления, что в более традиционной теории автоморфных форм было названо «поднятие», известное в специальных случаях, и поэтому ковариантно (тогда как ограниченное представление контравариантно). Попытки указать прямую конструкцию дали лишь некоторые условные результаты.

Все эти гипотезы могут быть сформулированы для более общих полей вместо Q{\displaystyle \mathbb {Q} }: поле алгебраических чисел (исходный и самый важный случай), локальные поля и поля функций (конечные расширения Fp(t){\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t)} — поля рациональных функций над конечным полем с p{\displaystyle p} элементами).

Геометрические гипотезы

Так называемая геометрическая программа Ленглендса, предложенная Жераром Ломоном следуя идеям Владимира Дринфельда, возникает из геометрической переформулировки обычной программы Ленглендса. В простых случаях она связывает ℓ{\displaystyle \ell }-адические представления этальной фундаментальной группы алгебраической кривой с объектами производной категории ℓ{\displaystyle \ell }-адическими пучками на модулях векторных расслоений над кривой.

Текущее состояние

Гипотеза Ленглендса для GL(1,K){\displaystyle \mathrm {GL} (1,K)} следуют из (и по существу эквивалентны) теории полей классов.

Ленглендс доказал гипотезы Ленглендса для групп над архимедовыми локальными полями R{\displaystyle \mathbb {R} } и C{\displaystyle \mathbb {C} }, дав классификацию Ленглендса неприводимых представлений над этими полями.

Классификацию Люстига неприводимых представлений групп лиева типа над конечными полями можно рассматривать как аналог гипотез Ленглендса для конечных полей.

Доказательство модулярности полустабильных эллиптических кривых над рациональными числами, данное Эндрю Уайлсом, можно рассматривать как пример гипотезы взаимности Ленглендса, так как основная идея состоит в том, чтобы связать представления Галуа, возникающие из эллиптических кривых, с модулярными формами. Хотя результаты Уайлса были существенно обобщены во многих разных направлениях, полная гипотеза Ленглендса для GL(2,Q){\displaystyle \mathrm {GL} (2,\mathbb {Q} )} остается недоказанной.

Лоран Лаффорг доказал теорему Лаффорга — гипотезу Ленглендса для общей линейной группы GL(n,K){\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)} для полей функций K{\displaystyle K}. Эта работа продолжила более ранние исследования Дринфельда, который доказал гипотезу для случая GL(2,K){\displaystyle \mathrm {GL} (2,K)}.

Локальные гипотезы Ленглендса

Филипп Куцко в 1980 доказал локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL(2,K){\displaystyle \mathrm {GL} (2,K)} над локальным полям.

Жерар Ломон, Михаил Рапопорт, Ульрих Штюлер в 1993 доказали локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL(n,K){\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)} для локальных полей K{\displaystyle K} положительной характеристики. Их доказательство использует глобальный аргумент.

Ричард Тейлор, Майкл Харрис в 2001 доказали локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL(n,K){\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)} для локальных полей K{\displaystyle K} характеристики 0. Гай Хенниарт в 2000 дал ещё одно доказательство. Оба доказательства используют глобальный аргумент. Петер Шольце в 2013 дал другое доказательство.

Фундаментальная лемма

В 2008 году Нго Бао Тяу доказал: фундаментальную лемму, которая изначально предполагалась Ленглендсом в 1983 году и требовалась для доказательства некоторых важных гипотез в программе Ленглендса^[4][5].

Примечания

1. ↑ Math Quartet Joins Forces on Unified Theory. Quanta (December 8, 2015).
2. ↑ ^{1 2} Френкель, Эдвард (2015), Любовь и математика. Сердце скрытой реальности, Питер, ISBN 978-5-496-01121-1 
3. ↑ «Все это, как выразился мой папа, слегка тяжеловато: у нас тут и пространства модулей Хитчина, и зеркальная симметрия, А-браны, В-браны, автоморфные пучки… Пытаясь уследить за всеми ингредиентами, можно с легкостью заработать головную боль! Поверьте, даже в среде специалистов лишь немногие могут похвастаться пониманием всех аспектов этой конструкции»^[2]
4. ↑ Ham Chau. Ngo Bao Chau, sommite mondiale des maths (фр.). Le Courrier du Vietnam (15 февраля 2009).
5. ↑ Langlands, Robert P. (1983), Les debuts d’une formule des traces stable, vol. 13, Publications Mathematiques de l’Universite Paris VII [Mathematical Publications of the University of Paris VII], Paris: Universite de Paris VII U.E.R. de Mathematiques, <http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/endoscopy.html#debuts> 

Ссылки

• Arthur, James (2003), «The principle of functoriality», American Mathematical Society. Bulletin. New Series Т. 40 (1): 39–53, ISSN 0002-9904, DOI 10.1090/S0273-0979-02-00963-1 
• Bernstein, J. & Gelbart, S. (2003), An Introduction to the Langlands Program, Boston: Birkhauser, ISBN 3-7643-3211-5 
  • Дж. Бернштайн, Ст. Гелбарт. Введение в программу Ленглендса. — Москва — Ижевск, 2008.
• Gelbart, Stephen (1984), «An elementary introduction to the Langlands program», American Mathematical Society. Bulletin. New Series Т. 10 (2): 177–219, ISSN 0002-9904, DOI 10.1090/S0273-0979-1984-15237-6 
• Frenkel, Edward (2005), «Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory», arΧiv:hep-th/0512172 

• Gelfand, I. M. (1963), «Automorphic functions and the theory of representations», Proc. Internat. Congr. Mathematicians (Stockholm, 1962), Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, сс. 74–85, <http://mathunion.org/ICM/ICM1962.1/>. Проверено 13 июля 2018. 
• Harris, Michael & Taylor, Richard (2001), The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties, vol. 151, Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09090-0, <https://books.google.com/books?id=sigBbO69hvMC> 
• Henniart, Guy (2000), «Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL(n) sur un corps p-adique», Inventiones Mathematicae Т. 139 (2): 439–455, ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/s002220050012 
• Kutzko, Philip (1980), «The Langlands Conjecture for Gl_2 of a Local Field», Annals of Mathematics Т. 112 (2): 381–412, DOI 10.2307/1971151 
• Langlands, Robert (1967), Letter to Prof. Weil, <http://publications.ias.edu/rpl/section/21> 
• Langlands, R. P. (1970), «Problems in the theory of automorphic forms», Lectures in modern analysis and applications, III, vol. 170, Lecture Notes in Math, Berlin, New York: Springer-Verlag, сс. 18–61, ISBN 978-3-540-05284-5, doi:10.1007/BFb0079065, <http://publications.ias.edu/rpl/section/21> 
• Laumon, G.; Rapoport, M. & Stuhler, U. (1993), «D-elliptic sheaves and the Langlands correspondence», Inventiones Mathematicae Т. 113 (2): 217–338, ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01244308 
• Scholze, Peter (2013), «The Local Langlands Correspondence for GL(n) over p-adic fields», Inventiones Mathematicae Т. 192 (3): 663–715, DOI 10.1007/s00222-012-0420-5 
• Solomon Friedberg. What is… the Langlands program? // Notices of the AMS. — 2018. — Vol. 65. — P. 663—665. — DOI:10.1090/noti1686.
• Владимир Королёв. Соединяя несоединимое. N+1 (23 марта 2018). Проверено 13 июля 2018.

Ссылки

wikipedia.green

Программа Ленглендса — Википедия. Что такое Программа Ленглендса

В математике программа Ленглендса представляет собой сеть далеко идущих и влиятельных гипотез о связях между теорией чисел и геометрией. Была предложена Робертом Ленглендсом в 1967 и 1970. Она стремится связать группы Галуа в алгебраической теории чисел с автоморфными формами и теорией представлений алгебраических групп над локальными полями и аделями. Программа Ленглендса, широко известная как самый крупный проект в современных математических исследованиях, была описана Эдвардом Френкелем как «теорией великого объединения математики»^[1].

Ленглендс получил за программу Ленглендса премию Абеля в 2018 году.

Контекст

Программа Ленглендса построена на разработанных ранее идеях: философия параболических форм, сформулированная несколькими годами ранее Хариш-Чандрой и Израилем Гельфандом в 1963, работы Хариш-Чандры по полупростым группам Ли, а в техническом плане — формула следа Сельберга и т. д.

Основная новизна работ Ленглендса, помимо технической глубины, состояла в гипотезах о прямой связи теории автоморфных форм и теории представлений с теорией чисел, в частности, о соответствии между морфизмами в этих теориях (функториальность).

Например, в работе Хариш-Чандры можно найти принцип, согласно которому то, что можно сделать для одной полупростой (или редуктивной) группы Ли, должно быть сделано для всех. Поэтому, как только была признана роль некоторых малоразмерных групп Ли, таких как GL(2){\displaystyle \mathrm {GL} (2)} в теории модулярных форм, и с ретроспективным взглядом GL(1){\displaystyle \mathrm {GL} (1)} в теории полей классов, путь был открыт как минимум к предположению о GL(n){\displaystyle \mathrm {GL} (n)} для общего случая n>2{\displaystyle n>2}.

Идея cusp form появилась из заострений на модулярных кривых, но также имела смысл, видимый в спектральной теории как дискретный спектр, контрастирующий с непрерывным спектром из рядов Эйзенштейна. Он становится гораздо более техническим для больших групп Ли, потому что параболические подгруппы более многочисленны.

Во всех этих подходах не было недостатка в технических методах, часто индуктивных по своей природе и основанных на декомпозиции Леви среди других вопросов, но поле было и остается очень требовательным^[3].

На стороне модулярных форм были такие примеры, как модулярные формы Гильберта, модулярные формы Зигеля и тэта-ряды.

Объекты гипотезы

Существует ряд связанных гипотез Ленглендса. Существует множество разных групп во многих разных областях, для которых они могут быть изложены, и для каждой области существует несколько различных вариантов гипотез^[2]. Некоторые версии гипотез Ленглендса являются неопределенными или зависят от таких объектов, как группы Ленглендса, существование которых недоказано, или от L-группы, которая имеет несколько неэквивалентных определений , Более того, гипотезы Ленглендса развивались с тех пор, как Ленглендс впервые изложил их в 1967 году.

Существуют различные типы объектов, для которых могут быть сформулированы гипотезы Ленглендса:

• Представления редуктивных групп над локальными полями (с различными подслучаями, соответствующими архимедовым локальным полям, p-адическим локальным полям и пополнениям полей функций)
• Автоморфные формы на редуктивных группах над локальными полями (с подслучаями, соответствующими числовым полям или полям функций).
• Конечные поля. Ленглендс первоначально не рассматривал этот случай, но его гипотезы имеют для него аналоги.
• Более общие поля, такие как поля функций над полем комплексных чисел.

Гипотезы

Существует несколько разных способов изложения гипотез Ленглендса, которые тесно связаны, но не являются очевидно эквивалентными.

Взаимность

Отправной точкой программы можно считать закон взаимности Артина, который обобщает квадратичный закон взаимности. Закон взаимности Артина действует в любом расширении Галуа алгебраического числового поля, группа Галуа которого является абелевой; он ставит в соответствие одномерным представлениям этой группы Галуа некоторые L-функции и утверждает, что эти L-функции идентичны некоторым L-рядам Дирихле или более общим рядам, построенным по характерам Гекке (то есть некоторым аналогам от дзета-функции Римана, например L-функциям Гекке). Точное соответствие между этими различными видами L-функций составляет закон взаимности Артина.

Для неабелевых групп Галуа и их представлений размерностью более чем 1 тоже можно определить естественным образом L-функции: L-функции Артина.

Проницательность Ленглендса заключалась в том, чтобы найти правильное обобщение L-функций Дирихле, что позволило бы обобщить формулировку Артина. Гекке ранее связывал L-функции Дирихле с автоморфными формами (голоморфных функций на верхней полуплоскости C{\displaystyle \mathbb {C} }, которые удовлетворяют некоторым функциональным уравнениям). Затем Ленглендс обобщил их на автоморфные каспидальные представления, которые являются определёнными бесконечномерными неприводимыми представлениями общей линейной группы GL(n){\displaystyle \mathrm {GL} (n)} над кольцом аделей Q{\displaystyle \mathbb {Q} }. (Это кольцо одновременно отслеживает все пополнения Q{\displaystyle \mathbb {Q} }, см. p-адические числа.)

Ленглендс связал автоморфные L-функции к этим автоморфным представлениям и предположил, что каждая L-функция Артина, возникающая из конечномерного представления группы Галуа числового поля, равна некоторой L-функции, возникающей из автоморфного каспидального представления. Это известно как его гипотеза взаимности.

Грубо говоря, гипотеза взаимности дает соответствие между автоморфными представлениями редуктивной группы и гомоморфизмами из группы Ленглендса в L-группы. Существует множество вариаций этого, отчасти потому, что определения группы Ленглендса и L-группы не являются фиксированными.

Ожидается, что это даст параметризацию L-пакетов допустимых неприводимых представлений редуктивной группы над локальным полем. Например, над полем вещественных чисел это соответствие является классификацией Ленглендса представлений действительных редуктивных групп. Над глобальными полями это соответствие должно дать параметризацию автоморфных форм.

Функториальность

В гипотезе функториальности утверждается, что подходящий гомоморфизм L-групп должен давать соответствие между автоморфными формами (в глобальном случае) или представлениями (в локальном случае). Грубо говоря, гипотеза об эквивалентности Ленглендса является частным случаем гипотезы функториальности, когда одна из редуктивных групп тривиальна.

Обобщённая функториальность

Ленглендс обобщил идею функториальности: вместо общей линейной группы GL(n){\displaystyle \mathrm {GL} (n)} можно использовать другие связные редуктивные группы. Более того, имея такую группу G{\displaystyle G}, Ленглендс строит двойственную группу LG{\displaystyle ^{L}G}, а затем для каждого автоморфного каспидального представления G{\displaystyle G} и любого конечномерного представления LG{\displaystyle ^{L}G}, он определяет L-функцию. Одна из его гипотез утверждает, что эти L-функции удовлетворяют некоторому функциональному уравнению, обобщающему функциональные уравнения других известных L-функций.

Затем он формулирует очень общий Принцип Функториальности. Для двух данных редуктивных групп и (хорошего) морфизма между соответствующими L-группами, Принцип Функториальности связывает их автоморфные представления так, чтобы они были совместимы с их L-функциями. Из этой следуют многие другие существующие гипотезы. Это характер конструкции индуцированного представления, что в более традиционной теории автоморфных форм было названо «поднятие», известное в специальных случаях, и поэтому ковариантно (тогда как ограниченное представление контравариантно). Попытки указать прямую конструкцию дали лишь некоторые условные результаты.

Все эти гипотезы могут быть сформулированы для более общих полей вместо Q{\displaystyle \mathbb {Q} }: поле алгебраических чисел (исходный и самый важный случай), локальные поля и поля функций (конечные расширения Fp(t){\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t)} — поля рациональных функций над конечным полем с p{\displaystyle p} элементами).

Геометрические гипотезы

Так называемая геометрическая программа Ленглендса, предложенная Жераром Ломоном следуя идеям Владимира Дринфельда, возникает из геометрической переформулировки обычной программы Ленглендса. В простых случаях она связывает ℓ{\displaystyle \ell }-адические представления этальной фундаментальной группы алгебраической кривой с объектами производной категории ℓ{\displaystyle \ell }-адическими пучками на модулях векторных расслоений над кривой.

Текущее состояние

Гипотеза Ленглендса для GL(1,K){\displaystyle \mathrm {GL} (1,K)} следуют из (и по существу эквивалентны) теории полей классов.

Ленглендс доказал гипотезы Ленглендса для групп над архимедовыми локальными полями R{\displaystyle \mathbb {R} } и C{\displaystyle \mathbb {C} }, дав классификацию Ленглендса неприводимых представлений над этими полями.

Классификацию Люстига неприводимых представлений групп лиева типа над конечными полями можно рассматривать как аналог гипотез Ленглендса для конечных полей.

Доказательство модулярности полустабильных эллиптических кривых над рациональными числами, данное Эндрю Уайлсом, можно рассматривать как пример гипотезы взаимности Ленглендса, так как основная идея состоит в том, чтобы связать представления Галуа, возникающие из эллиптических кривых, с модулярными формами. Хотя результаты Уайлса были существенно обобщены во многих разных направлениях, полная гипотеза Ленглендса для GL(2,Q){\displaystyle \mathrm {GL} (2,\mathbb {Q} )} остается недоказанной.

Лоран Лаффорг доказал теорему Лаффорга — гипотезу Ленглендса для общей линейной группы GL(n,K){\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)} для полей функций K{\displaystyle K}. Эта работа продолжила более ранние исследования Дринфельда, который доказал гипотезу для случая GL(2,K){\displaystyle \mathrm {GL} (2,K)}.

Локальные гипотезы Ленглендса

Филипп Куцко в 1980 доказал локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL(2,K){\displaystyle \mathrm {GL} (2,K)} над локальным полям.

Жерар Ломон, Михаил Рапопорт, Ульрих Штюлер в 1993 доказали локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL(n,K){\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)} для локальных полей K{\displaystyle K} положительной характеристики. Их доказательство использует глобальный аргумент.

Ричард Тейлор, Майкл Харрис в 2001 доказали локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL(n,K){\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)} для локальных полей K{\displaystyle K} характеристики 0. Гай Хенниарт в 2000 дал ещё одно доказательство. Оба доказательства используют глобальный аргумент. Петер Шольце в 2013 дал другое доказательство.

Фундаментальная лемма

В 2008 году Нго Бао Тяу доказал: фундаментальную лемму, которая изначально предполагалась Ленглендсом в 1983 году и требовалась для доказательства некоторых важных гипотез в программе Ленглендса^[4][5].

Примечания

1. ↑ Math Quartet Joins Forces on Unified Theory. Quanta (December 8, 2015).
2. ↑ ^{1 2} Френкель, Эдвард (2015), Любовь и математика. Сердце скрытой реальности, Питер, ISBN 978-5-496-01121-1 
3. ↑ «Все это, как выразился мой папа, слегка тяжеловато: у нас тут и пространства модулей Хитчина, и зеркальная симметрия, А-браны, В-браны, автоморфные пучки… Пытаясь уследить за всеми ингредиентами, можно с легкостью заработать головную боль! Поверьте, даже в среде специалистов лишь немногие могут похвастаться пониманием всех аспектов этой конструкции»^[2]
4. ↑ Ham Chau. Ngo Bao Chau, sommite mondiale des maths (фр.). Le Courrier du Vietnam (15 февраля 2009).
5. ↑ Langlands, Robert P. (1983), Les debuts d’une formule des traces stable, vol. 13, Publications Mathematiques de l’Universite Paris VII [Mathematical Publications of the University of Paris VII], Paris: Universite de Paris VII U.E.R. de Mathematiques, <http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/endoscopy.html#debuts> 

Ссылки

• Arthur, James (2003), «The principle of functoriality», American Mathematical Society. Bulletin. New Series Т. 40 (1): 39–53, ISSN 0002-9904, DOI 10.1090/S0273-0979-02-00963-1 
• Bernstein, J. & Gelbart, S. (2003), An Introduction to the Langlands Program, Boston: Birkhauser, ISBN 3-7643-3211-5 
  • Дж. Бернштайн, Ст. Гелбарт. Введение в программу Ленглендса. — Москва — Ижевск, 2008.
• Gelbart, Stephen (1984), «An elementary introduction to the Langlands program», American Mathematical Society. Bulletin. New Series Т. 10 (2): 177–219, ISSN 0002-9904, DOI 10.1090/S0273-0979-1984-15237-6 
• Frenkel, Edward (2005), «Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory», arΧiv:hep-th/0512172 

• Gelfand, I. M. (1963), «Automorphic functions and the theory of representations», Proc. Internat. Congr. Mathematicians (Stockholm, 1962), Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, сс. 74–85, <http://mathunion.org/ICM/ICM1962.1/>. Проверено 13 июля 2018. 
• Harris, Michael & Taylor, Richard (2001), The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties, vol. 151, Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09090-0, <https://books.google.com/books?id=sigBbO69hvMC> 
• Henniart, Guy (2000), «Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL(n) sur un corps p-adique», Inventiones Mathematicae Т. 139 (2): 439–455, ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/s002220050012 
• Kutzko, Philip (1980), «The Langlands Conjecture for Gl_2 of a Local Field», Annals of Mathematics Т. 112 (2): 381–412, DOI 10.2307/1971151 
• Langlands, Robert (1967), Letter to Prof. Weil, <http://publications.ias.edu/rpl/section/21> 
• Langlands, R. P. (1970), «Problems in the theory of automorphic forms», Lectures in modern analysis and applications, III, vol. 170, Lecture Notes in Math, Berlin, New York: Springer-Verlag, сс. 18–61, ISBN 978-3-540-05284-5, doi:10.1007/BFb0079065, <http://publications.ias.edu/rpl/section/21> 
• Laumon, G.; Rapoport, M. & Stuhler, U. (1993), «D-elliptic sheaves and the Langlands correspondence», Inventiones Mathematicae Т. 113 (2): 217–338, ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01244308 
• Scholze, Peter (2013), «The Local Langlands Correspondence for GL(n) over p-adic fields», Inventiones Mathematicae Т. 192 (3): 663–715, DOI 10.1007/s00222-012-0420-5 
• Solomon Friedberg. What is… the Langlands program? // Notices of the AMS. — 2018. — Vol. 65. — P. 663—665. — DOI:10.1090/noti1686.
• Владимир Королёв. Соединяя несоединимое. N+1 (23 марта 2018). Проверено 13 июля 2018.

Ссылки

wiki.sc

Программа Ленглендса — ВиКи

Контекст

Программа Ленглендса построена на разработанных ранее идеях: философия параболических форм, сформулированная несколькими годами ранее Хариш-Чандрой и Израилем Гельфандом в 1963, работы Хариш-Чандры по полупростым группам Ли, а в техническом плане — формула следа Сельберга и т. д.

Основная новизна работ Ленглендса, помимо технической глубины, состояла в гипотезах о прямой связи теории автоморфных форм и теории представлений с теорией чисел, в частности, о соответствии между морфизмами в этих теориях (функториальность).

Например, в работе Хариш-Чандры можно найти принцип, согласно которому то, что можно сделать для одной полупростой (или редуктивной) группы Ли, должно быть сделано для всех. Поэтому, как только была признана роль некоторых малоразмерных групп Ли, таких как GL(2){\displaystyle \mathrm {GL} (2)}  в теории модулярных форм, и с ретроспективным взглядом GL(1){\displaystyle \mathrm {GL} (1)}  в теории полей классов, путь был открыт как минимум к предположению о GL(n){\displaystyle \mathrm {GL} (n)}  для общего случая n>2{\displaystyle n>2} .

Идея cusp form появилась из заострений на модулярных кривых, но также имела смысл, видимый в спектральной теории как дискретный спектр, контрастирующий с непрерывным спектром из рядов Эйзенштейна. Он становится гораздо более техническим для больших групп Ли, потому что параболические подгруппы более многочисленны.

Во всех этих подходах не было недостатка в технических методах, часто индуктивных по своей природе и основанных на декомпозиции Леви среди других вопросов, но поле было и остается очень требовательным^[3].

На стороне модулярных форм были такие примеры, как модулярные формы Гильберта, модулярные формы Зигеля и тэта-ряды.

Объекты гипотезы

Существует ряд связанных гипотез Ленглендса. Существует множество разных групп во многих разных областях, для которых они могут быть изложены, и для каждой области существует несколько различных вариантов гипотез^[2]. Некоторые версии гипотез Ленглендса являются неопределенными или зависят от таких объектов, как группы Ленглендса, существование которых недоказано, или от L-группы, которая имеет несколько неэквивалентных определений , Более того, гипотезы Ленглендса развивались с тех пор, как Ленглендс впервые изложил их в 1967 году.

Существуют различные типы объектов, для которых могут быть сформулированы гипотезы Ленглендса:

• Представления редуктивных групп над локальными полями (с различными подслучаями, соответствующими архимедовым локальным полям, p-адическим локальным полям и пополнениям полей функций)
• Автоморфные формы на редуктивных группах над локальными полями (с подслучаями, соответствующими числовым полям или полям функций).
• Конечные поля. Ленглендс первоначально не рассматривал этот случай, но его гипотезы имеют для него аналоги.
• Более общие поля, такие как поля функций над полем комплексных чисел.

Гипотезы

Существует несколько разных способов изложения гипотез Ленглендса, которые тесно связаны, но не являются очевидно эквивалентными.

Взаимность

Отправной точкой программы можно считать закон взаимности Артина, который обобщает квадратичный закон взаимности. Закон взаимности Артина действует в любом расширении Галуа алгебраического числового поля, группа Галуа которого является абелевой; он ставит в соответствие одномерным представлениям этой группы Галуа некоторые L-функции и утверждает, что эти L-функции идентичны некоторым L-рядам Дирихле или более общим рядам, построенным по характерам Гекке (то есть некоторым аналогам от дзета-функции Римана, например L-функциям Гекке). Точное соответствие между этими различными видами L-функций составляет закон взаимности Артина.

Для неабелевых групп Галуа и их представлений размерностью более чем 1 тоже можно определить естественным образом L-функции: L-функции Артина.

Проницательность Ленглендса заключалась в том, чтобы найти правильное обобщение L-функций Дирихле, что позволило бы обобщить формулировку Артина. Гекке ранее связывал L-функции Дирихле с автоморфными формами (голоморфных функций на верхней полуплоскости C{\displaystyle \mathbb {C} } , которые удовлетворяют некоторым функциональным уравнениям). Затем Ленглендс обобщил их на автоморфные каспидальные представления, которые являются определёнными бесконечномерными неприводимыми представлениями общей линейной группы GL(n){\displaystyle \mathrm {GL} (n)}  над кольцом аделей Q{\displaystyle \mathbb {Q} } . (Это кольцо одновременно отслеживает все пополнения Q{\displaystyle \mathbb {Q} } , см. p-адические числа.)

Ленглендс связал автоморфные L-функции к этим автоморфным представлениям и предположил, что каждая L-функция Артина, возникающая из конечномерного представления группы Галуа числового поля, равна некоторой L-функции, возникающей из автоморфного каспидального представления. Это известно как его гипотеза взаимности.

Грубо говоря, гипотеза взаимности дает соответствие между автоморфными представлениями редуктивной группы и гомоморфизмами из группы Ленглендса в L-группы. Существует множество вариаций этого, отчасти потому, что определения группы Ленглендса и L-группы не являются фиксированными.

Ожидается, что это даст параметризацию L-пакетов допустимых неприводимых представлений редуктивной группы над локальным полем. Например, над полем вещественных чисел это соответствие является классификацией Ленглендса представлений действительных редуктивных групп. Над глобальными полями это соответствие должно дать параметризацию автоморфных форм.

Функториальность

В гипотезе функториальности утверждается, что подходящий гомоморфизм L-групп должен давать соответствие между автоморфными формами (в глобальном случае) или представлениями (в локальном случае). Грубо говоря, гипотеза об эквивалентности Ленглендса является частным случаем гипотезы функториальности, когда одна из редуктивных групп тривиальна.

Обобщённая функториальность

Ленглендс обобщил идею функториальности: вместо общей линейной группы GL(n){\displaystyle \mathrm {GL} (n)}  можно использовать другие связные редуктивные группы. Более того, имея такую группу G{\displaystyle G} , Ленглендс строит двойственную группу LG{\displaystyle ^{L}G} , а затем для каждого автоморфного каспидального представления G{\displaystyle G}  и любого конечномерного представления LG{\displaystyle ^{L}G} , он определяет L-функцию. Одна из его гипотез утверждает, что эти L-функции удовлетворяют некоторому функциональному уравнению, обобщающему функциональные уравнения других известных L-функций.

Затем он формулирует очень общий Принцип Функториальности. Для двух данных редуктивных групп и (хорошего) морфизма между соответствующими L-группами, Принцип Функториальности связывает их автоморфные представления так, чтобы они были совместимы с их L-функциями. Из этой следуют многие другие существующие гипотезы. Это характер конструкции индуцированного представления, что в более традиционной теории автоморфных форм было названо «поднятие», известное в специальных случаях, и поэтому ковариантно (тогда как ограниченное представление контравариантно). Попытки указать прямую конструкцию дали лишь некоторые условные результаты.

Все эти гипотезы могут быть сформулированы для более общих полей вместо Q{\displaystyle \mathbb {Q} } : поле алгебраических чисел (исходный и самый важный случай), локальные поля и поля функций (конечные расширения Fp(t){\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t)}  — поля рациональных функций над конечным полем с p{\displaystyle p}  элементами).

Геометрические гипотезы

Основная статья: Геометрическое соответствие Ленглендса

Так называемая геометрическая программа Ленглендса, предложенная Жераром Ломоном следуя идеям Владимира Дринфельда, возникает из геометрической переформулировки обычной программы Ленглендса. В простых случаях она связывает ℓ{\displaystyle \ell } -адические представления этальной фундаментальной группы алгебраической кривой с объектами производной категории ℓ{\displaystyle \ell } -адическими пучками на модулях векторных расслоений над кривой.

Текущее состояние

Гипотеза Ленглендса для GL(1,K){\displaystyle \mathrm {GL} (1,K)}  следуют из (и по существу эквивалентны) теории полей классов.

Ленглендс доказал гипотезы Ленглендса для групп над архимедовыми локальными полями R{\displaystyle \mathbb {R} }  и C{\displaystyle \mathbb {C} } , дав классификацию Ленглендса неприводимых представлений над этими полями.

Классификацию Люстига неприводимых представлений групп лиева типа над конечными полями можно рассматривать как аналог гипотез Ленглендса для конечных полей.

Доказательство модулярности полустабильных эллиптических кривых над рациональными числами, данное Эндрю Уайлсом, можно рассматривать как пример гипотезы взаимности Ленглендса, так как основная идея состоит в том, чтобы связать представления Галуа, возникающие из эллиптических кривых, с модулярными формами. Хотя результаты Уайлса были существенно обобщены во многих разных направлениях, полная гипотеза Ленглендса для GL(2,Q){\displaystyle \mathrm {GL} (2,\mathbb {Q} )}  остается недоказанной.

Лоран Лаффорг доказал теорему Лаффорга — гипотезу Ленглендса для общей линейной группы GL(n,K){\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}  для полей функций K{\displaystyle K} . Эта работа продолжила более ранние исследования Дринфельда, который доказал гипотезу для случая GL(2,K){\displaystyle \mathrm {GL} (2,K)} .

Локальные гипотезы Ленглендса

Основная статья: Локальные гипотезы Ленглендса

Филипп Куцко в 1980 доказал локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL(2,K){\displaystyle \mathrm {GL} (2,K)}  над локальным полям.

Жерар Ломон, Михаил Рапопорт, Ульрих Штюлер в 1993 доказали локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL(n,K){\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}  для локальных полей K{\displaystyle K}  положительной характеристики. Их доказательство использует глобальный аргумент.

Ричард Тейлор, Майкл Харрис в 2001 доказали локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL(n,K){\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}  для локальных полей K{\displaystyle K}  характеристики 0. Гай Хенниарт в 2000 дал ещё одно доказательство. Оба доказательства используют глобальный аргумент. Петер Шольце в 2013 дал другое доказательство.

Фундаментальная лемма

Основная статья: Фундаментальная лемма (программа Ленглендса)

В 2008 году Нго Бао Тяу доказал: фундаментальную лемму, которая изначально предполагалась Ленглендсом в 1983 году и требовалась для доказательства некоторых важных гипотез в программе Ленглендса^[4][5].

Примечания

1. ↑ Math Quartet Joins Forces on Unified Theory (неопр.). Quanta (December 8, 2015).
2. ↑ ^{1 2} Френкель, Эдвард (2015), Любовь и математика. Сердце скрытой реальности, Питер, ISBN 978-5-496-01121-1 
3. ↑ «Все это, как выразился мой папа, слегка тяжеловато: у нас тут и пространства модулей Хитчина, и зеркальная симметрия, А-браны, В-браны, автоморфные пучки… Пытаясь уследить за всеми ингредиентами, можно с легкостью заработать головную боль! Поверьте, даже в среде специалистов лишь немногие могут похвастаться пониманием всех аспектов этой конструкции»^[2]
4. ↑ Ham Chau. Ngo Bao Chau, sommite mondiale des maths (фр.). Le Courrier du Vietnam (15 février 2009).
5. ↑ Langlands, Robert P. (1983), Les debuts d’une formule des traces stable, vol. 13, Publications Mathematiques de l’Universite Paris VII [Mathematical Publications of the University of Paris VII], Paris: Universite de Paris VII U.E.R. de Mathematiques, <http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/endoscopy.html#debuts> 

Ссылки

• Arthur, James (2003), «The principle of functoriality», American Mathematical Society. Bulletin. New Series Т. 40 (1): 39–53, ISSN 0002-9904, DOI 10.1090/S0273-0979-02-00963-1 
• Bernstein, J. & Gelbart, S. (2003), An Introduction to the Langlands Program, Boston: Birkhauser, ISBN 3-7643-3211-5 
  • Дж. Бернштайн, Ст. Гелбарт. Введение в программу Ленглендса. — Москва — Ижевск, 2008.
• Gelbart, Stephen (1984), «An elementary introduction to the Langlands program», American Mathematical Society. Bulletin. New Series Т. 10 (2): 177–219, ISSN 0002-9904, DOI 10.1090/S0273-0979-1984-15237-6 
• Frenkel, Edward (2005), «Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory», arΧiv:hep-th/0512172 

• Gelfand, I. M. (1963), «Automorphic functions and the theory of representations», Proc. Internat. Congr. Mathematicians (Stockholm, 1962), Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, с. 74–85, <http://mathunion.org/ICM/ICM1962.1/>. Проверено 13 июля 2018.  Архивная копия от 17 июля 2011 на Wayback Machine
• Harris, Michael & Taylor, Richard (2001), The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties, vol. 151, Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09090-0, <https://books.google.com/books?id=sigBbO69hvMC> 
• Henniart, Guy (2000), «Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL(n) sur un corps p-adique», Inventiones Mathematicae Т. 139 (2): 439–455, ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/s002220050012 
• Kutzko, Philip (1980), «The Langlands Conjecture for Gl_2 of a Local Field», Annals of Mathematics Т. 112 (2): 381–412, DOI 10.2307/1971151 
• Langlands, Robert (1967), Letter to Prof. Weil, <http://publications.ias.edu/rpl/section/21> 
• Langlands, R. P. (1970), «Problems in the theory of automorphic forms», Lectures in modern analysis and applications, III, vol. 170, Lecture Notes in Math, Berlin, New York: Springer-Verlag, с. 18–61, ISBN 978-3-540-05284-5, doi:10.1007/BFb0079065, <http://publications.ias.edu/rpl/section/21> 
• Laumon, G.; Rapoport, M. & Stuhler, U. (1993), «D-elliptic sheaves and the Langlands correspondence», Inventiones Mathematicae Т. 113 (2): 217–338, ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01244308 
• Scholze, Peter (2013), «The Local Langlands Correspondence for GL(n) over p-adic fields», Inventiones Mathematicae Т. 192 (3): 663–715, DOI 10.1007/s00222-012-0420-5 
• Solomon Friedberg. What is… the Langlands program? // Notices of the AMS. — 2018. — Vol. 65. — P. 663—665. — DOI:10.1090/noti1686.
• Владимир Королёв. Соединяя несоединимое (неопр.). N+1 (23 марта 2018). Дата обращения 13 июля 2018.

Ссылки

www.xn--b1aeclack5b4j.xn--j1aef.xn--p1ai

Программа Ленглендса Википедия

В математике программа Ленглендса представляет собой сеть далеко идущих и влиятельных гипотез о связях между теорией чисел и геометрией. Была предложена Робертом Ленглендсом в 1967 и 1970. Она стремится связать группы Галуа в алгебраической теории чисел с автоморфными формами и теорией представлений алгебраических групп над локальными полями и аделями. Программа Ленглендса, широко известная как самый крупный проект в современных математических исследованиях, была описана Эдвардом Френкелем как «теория великого объединения математики»^[1].

Ленглендс получил за программу Ленглендса премию Абеля в 2018 году.

Контекст

Программа Ленглендса построена на разработанных ранее идеях: философия параболических форм, сформулированная несколькими годами ранее Хариш-Чандрой и Израилем Гельфандом в 1963, работы Хариш-Чандры по полупростым группам Ли, а в техническом плане — формула следа Сельберга и т. д.

Основная новизна работ Ленглендса, помимо технической глубины, состояла в гипотезах о прямой связи теории автоморфных форм и теории представлений с теорией чисел, в частности, о соответствии между морфизмами в этих теориях (функториальность).

Например, в работе Хариш-Чандры можно найти принцип, согласно которому то, что можно сделать для одной полупростой (или редуктивной) группы Ли, должно быть сделано для всех. Поэтому, как только была признана роль некоторых малоразмерных групп Ли, таких как GL(2){\displaystyle \mathrm {GL} (2)} в теории модулярных форм, и с ретроспективным взглядом GL(1){\displaystyle \mathrm {GL} (1)} в теории полей классов, путь был открыт как минимум к предположению о GL(n){\displaystyle \mathrm {GL} (n)} для общего случая n>2{\displaystyle n>2}.

Идея cusp form появилась из заострений на модулярных кривых, но также имела смысл, видимый в спектральной теории как дискретный спектр, контрастирующий с непрерывным спектром из рядов Эйзенштейна. Он становится гораздо более техническим для больших групп Ли, потому что параболические подгруппы более многочисленны.

Во всех этих подходах не было недостатка в технических методах, часто индуктивных по своей природе и основанных на декомпозиции Леви среди других вопросов, но поле было и остается очень требовательным^[3].

На стороне модулярных форм были такие примеры, как модулярные формы Гильберта, модулярные формы Зигеля и тэта-ряды.

Объекты гипотезы

Существует ряд связанных гипотез Ленглендса. Существует множество разных групп во многих разных областях, для которых они могут быть изложены, и для каждой области существует несколько различных вариантов гипотез^[2]. Некоторые версии гипотез Ленглендса являются неопределенными или зависят от таких объектов, как группы Ленглендса, существование которых недоказано, или от L-группы, которая имеет несколько неэквивалентных определений , Более того, гипотезы Ленглендса развивались с тех пор, как Ленглендс впервые изложил их в 1967 году.

Существуют различные типы объектов, для которых могут быть сформулированы гипотезы Ленглендса:

• Представления редуктивных групп над локальными полями (с различными подслучаями, соответствующими архимедовым локальным полям, p-адическим локальным полям и пополнениям полей функций)
• Автоморфные формы на редуктивных группах над локальными полями (с подслучаями, соответствующими числовым полям или полям функций).
• Конечные поля. Ленглендс первоначально не рассматривал этот случай, но его гипотезы имеют для него аналоги.
• Более общие поля, такие как поля функций над полем комплексных чисел.

Гипотезы

Существует несколько разных способов изложения гипотез Ленглендса, которые тесно связаны, но не являются очевидно эквивалентными.

Взаимность

Отправной точкой программы можно считать закон взаимности Артина, который обобщает квадратичный закон взаимности. Закон взаимности Артина действует в любом расширении Галуа алгебраического числового поля, группа Галуа которого является абелевой; он ставит в соответствие одномерным представлениям этой группы Галуа некоторые L-функции и утверждает, что эти L-функции идентичны некоторым L-рядам Дирихле или более общим рядам, построенным по характерам Гекке (то есть некоторым аналогам от дзета-функции Римана, например L-функциям Гекке). Точное соответствие между этими различными видами L-функций составляет закон взаимности Артина.

Для неабелевых групп Галуа и их представлений размерностью более чем 1 тоже можно определить естественным образом L-функции: L-функции Артина.

Проницательность Ленглендса заключалась в том, чтобы найти правильное обобщение L-функций Дирихле, что позволило бы обобщить формулировку Артина. Гекке ранее связывал L-функции Дирихле с автоморфными формами (голоморфных функций на верхней полуплоскости C{\displaystyle \mathbb {C} }, которые удовлетворяют некоторым функциональным уравнениям). Затем Ленглендс обобщил их на автоморфные каспидальные представления, которые являются определёнными бесконечномерными неприводимыми представлениями общей линейной группы GL(n){\displaystyle \mathrm {GL} (n)} над кольцом аделей Q{\displaystyle \mathbb {Q} }. (Это кольцо одновременно отслеживает все пополнения Q{\displaystyle \mathbb {Q} }, см. p-адические числа.)

Ленглендс связал автоморфные L-функции к этим автоморфным представлениям и предположил, что каждая L-функция Артина, возникающая из конечномерного представления группы Галуа числового поля, равна некоторой L-функции, возникающей из автоморфного каспидального представления. Это известно как его гипотеза взаимности.

Грубо говоря, гипотеза взаимности дает соответствие между автоморфными представлениями редуктивной группы и гомоморфизмами из группы Ленглендса в L-группы. Существует множество вариаций этого, отчасти потому, что определения группы Ленглендса и L-группы не являются фиксированными.

Ожидается, что это даст параметризацию L-пакетов допустимых неприводимых представлений редуктивной группы над локальным полем. Например, над полем вещественных чисел это соответствие является классификацией Ленглендса представлений действительных редуктивных групп. Над глобальными полями это соответствие должно дать параметризацию автоморфных форм.

Функториальность

В гипотезе функториальности утверждается, что подходящий гомоморфизм L-групп должен давать соответствие между автоморфными формами (в глобальном случае) или представлениями (в локальном случае). Грубо говоря, гипотеза об эквивалентности Ленглендса является частным случаем гипотезы функториальности, когда одна из редуктивных групп тривиальна.

Обобщённая функториальность

Ленглендс обобщил идею функториальности: вместо общей линейной группы GL(n){\displaystyle \mathrm {GL} (n)} можно использовать другие связные редуктивные группы. Более того, имея такую группу G{\displaystyle G}, Ленглендс строит двойственную группу LG{\displaystyle ^{L}G}, а затем для каждого автоморфного каспидального представления G{\displaystyle G} и любого конечномерного представления LG{\displaystyle ^{L}G}, он определяет L-функцию. Одна из его гипотез утверждает, что эти L-функции удовлетворяют некоторому функциональному уравнению, обобщающему функциональные уравнения других известных L-функций.

Затем он формулирует очень общий Принцип Функториальности. Для двух данных редуктивных групп и (хорошего) морфизма между соответствующими L-группами, Принцип Функториальности связывает их автоморфные представления так, чтобы они были совместимы с их L-функциями. Из этой следуют многие другие существующие гипотезы. Это характер конструкции индуцированного представления, что в более традиционной теории автоморфных форм было названо «поднятие», известное в специальных случаях, и поэтому ковариантно (тогда как ограниченное представление контравариантно). Попытки указать прямую конструкцию дали лишь некоторые условные результаты.

Все эти гипотезы могут быть сформулированы для более общих полей вместо Q{\displaystyle \mathbb {Q} }: поле алгебраических чисел (исходный и самый важный случай), локальные поля и поля функций (конечные расширения Fp(t){\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t)} — поля рациональных функций над конечным полем с p{\displaystyle p} элементами).

Геометрические гипотезы

Так называемая геометрическая программа Ленглендса, предложенная Жераром Ломоном следуя идеям Владимира Дринфельда, возникает из геометрической переформулировки обычной программы Ленглендса. В простых случаях она связывает ℓ{\displaystyle \ell }-адические представления этальной фундаментальной группы алгебраической кривой с объектами производной категории ℓ{\displaystyle \ell }-адическими пучками на модулях векторных расслоений над кривой.

Текущее состояние

Гипотеза Ленглендса для GL(1,K){\displaystyle \mathrm {GL} (1,K)} следуют из (и по существу эквивалентны) теории полей классов.

Ленглендс доказал гипотезы Ленглендса для групп над архимедовыми локальными полями R{\displaystyle \mathbb {R} } и C{\displaystyle \mathbb {C} }, дав классификацию Ленглендса неприводимых представлений над этими полями.

Классификацию Люстига неприводимых представлений групп лиева типа над конечными полями можно рассматривать как аналог гипотез Ленглендса для конечных полей.

Доказательство модулярности полустабильных эллиптических кривых над рациональными числами, данное Эндрю Уайлсом, можно рассматривать как пример гипотезы взаимности Ленглендса, так как основная идея состоит в том, чтобы связать представления Галуа, возникающие из эллиптических кривых, с модулярными формами. Хотя результаты Уайлса были существенно обобщены во многих разных направлениях, полная гипотеза Ленглендса для GL(2,Q){\displaystyle \mathrm {GL} (2,\mathbb {Q} )} остается недоказанной.

Лоран Лаффорг доказал теорему Лаффорга — гипотезу Ленглендса для общей линейной группы GL(n,K){\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)} для полей функций K{\displaystyle K}. Эта работа продолжила более ранние исследования Дринфельда, который доказал гипотезу для случая GL(2,K){\displaystyle \mathrm {GL} (2,K)}.

Локальные гипотезы Ленглендса

Филипп Куцко в 1980 доказал локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL(2,K){\displaystyle \mathrm {GL} (2,K)} над локальным полям.

Жерар Ломон, Михаил Рапопорт, Ульрих Штюлер в 1993 доказали локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL(n,K){\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)} для локальных полей K{\displaystyle K} положительной характеристики. Их доказательство использует глобальный аргумент.

Ричард Тейлор, Майкл Харрис в 2001 доказали локальные гипотезы Ленглендса для общей линейной группы GL(n,K){\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)} для локальных полей K{\displaystyle K} характеристики 0. Гай Хенниарт в 2000 дал ещё одно доказательство. Оба доказательства используют глобальный аргумент. Петер Шольце в 2013 дал другое доказательство.

Фундаментальная лемма

В 2008 году Нго Бао Тяу доказал: фундаментальную лемму, которая изначально предполагалась Ленглендсом в 1983 году и требовалась для доказательства некоторых важных гипотез в программе Ленглендса^[4][5].

Примечания

1. ↑ Math Quartet Joins Forces on Unified Theory (неопр.). Quanta (December 8, 2015).
2. ↑ ^{1 2} Френкель, Эдвард (2015), Любовь и математика. Сердце скрытой реальности, Питер, ISBN 978-5-496-01121-1 
3. ↑ «Все это, как выразился мой папа, слегка тяжеловато: у нас тут и пространства модулей Хитчина, и зеркальная симметрия, А-браны, В-браны, автоморфные пучки… Пытаясь уследить за всеми ингредиентами, можно с легкостью заработать головную боль! Поверьте, даже в среде специалистов лишь немногие могут похвастаться пониманием всех аспектов этой конструкции»^[2]
4. ↑ Ham Chau. Ngo Bao Chau, sommite mondiale des maths (фр.). Le Courrier du Vietnam (15 février 2009).
5. ↑ Langlands, Robert P. (1983), Les debuts d’une formule des traces stable, vol. 13, Publications Mathematiques de l’Universite Paris VII [Mathematical Publications of the University of Paris VII], Paris: Universite de Paris VII U.E.R. de Mathematiques, <http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/endoscopy.html#debuts> 

Ссылки

• Arthur, James (2003), «The principle of functoriality», American Mathematical Society. Bulletin. New Series Т. 40 (1): 39–53, ISSN 0002-9904, DOI 10.1090/S0273-0979-02-00963-1 
• Bernstein, J. & Gelbart, S. (2003), An Introduction to the Langlands Program, Boston: Birkhauser, ISBN 3-7643-3211-5 
  • Дж. Бернштайн, Ст. Гелбарт. Введение в программу Ленглендса. — Москва — Ижевск, 2008.
• Gelbart, Stephen (1984), «An elementary introduction to the Langlands program», American Mathematical Society. Bulletin. New Series Т. 10 (2): 177–219, ISSN 0002-9904, DOI 10.1090/S0273-0979-1984-15237-6 
• Frenkel, Edward (2005), «Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory», arΧiv:hep-th/0512172 

• Gelfand, I. M. (1963), «Automorphic functions and the theory of representations», Proc. Internat. Congr. Mathematicians (Stockholm, 1962), Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, с. 74–85, <http://mathunion.org/ICM/ICM1962.1/>. Проверено 13 июля 2018.  Архивная копия от 17 июля 2011 на Wayback Machine
• Harris, Michael & Taylor, Richard (2001), The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties, vol. 151, Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09090-0, <https://books.google.com/books?id=sigBbO69hvMC> 
• Henniart, Guy (2000), «Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL(n) sur un corps p-adique», Inventiones Mathematicae Т. 139 (2): 439–455, ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/s002220050012 
• Kutzko, Philip (1980), «The Langlands Conjecture for Gl_2 of a Local Field», Annals of Mathematics Т. 112 (2): 381–412, DOI 10.2307/1971151 
• Langlands, Robert (1967), Letter to Prof. Weil, <http://publications.ias.edu/rpl/section/21> 
• Langlands, R. P. (1970), «Problems in the theory of automorphic forms», Lectures in modern analysis and applications, III, vol. 170, Lecture Notes in Math, Berlin, New York: Springer-Verlag, с. 18–61, ISBN 978-3-540-05284-5, doi:10.1007/BFb0079065, <http://publications.ias.edu/rpl/section/21> 
• Laumon, G.; Rapoport, M. & Stuhler, U. (1993), «D-elliptic sheaves and the Langlands correspondence», Inventiones Mathematicae Т. 113 (2): 217–338, ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01244308 
• Scholze, Peter (2013), «The Local Langlands Correspondence for GL(n) over p-adic fields», Inventiones Mathematicae Т. 192 (3): 663–715, DOI 10.1007/s00222-012-0420-5 
• Solomon Friedberg. What is… the Langlands program? // Notices of the AMS. — 2018. — Vol. 65. — P. 663—665. — DOI:10.1090/noti1686.
• Владимир Королёв. Соединяя несоединимое (неопр.). N+1 (23 марта 2018). Дата обращения 13 июля 2018.

Ссылки

wikiredia.ru

WikiZero — Программа Ленглендса

Wikipedia open wikipedia design.

В математике программа Ленглендса представляет собой сеть далеко идущих и влиятельных гипотез о связях между теорией чисел и геометрией. Была предложена Робертом Ленглендсом в 1967 и 1970. Она стремится связать группы Галуа в алгебраической теории чисел с автоморфными формами и теорией представлений алгебраических групп над локальными полями и аделями. Программа Ленглендса, широко известная как самый крупный проект в современных математических исследованиях, была описана Эдвардом Френкелем как «теория великого объединения математики»^[1].

Ленглендс получил за программу Ленглендса премию Абеля в 2018 году.

Программа Ленглендса построена на разработанных ранее идеях: философия параболических форм, сформулированная несколькими годами ранее Хариш-Чандрой и Израилем Гельфандом в 1963, работы Хариш-Чандры по полупростым группам Ли, а в техническом плане — формула следа Сельберга и т. д.

Основная новизна работ Ленглендса, помимо технической глубины, состояла в гипотезах о прямой связи теории автоморфных форм и теории представлений с теорией чисел, в частности, о соответствии между морфизмами в этих теориях (функториальность).

Например, в работе Хариш-Чандры можно найти принцип, согласно которому то, что можно сделать для одной полупростой (или редуктивной) группы Ли, должно быть сделано для всех. Поэтому, как только была признана роль некоторых малоразмерных групп Ли, таких как GL(2){\displaystyle \mathrm {GL} (2)} в теории модулярных форм, и с ретроспективным взглядом GL(1){\displaystyle \mathrm {GL} (1)} в теории полей классов, путь был открыт как минимум к предположению о GL(n){\displaystyle \mathrm {GL} (n)} для общего случая n>2{\displaystyle n>2}.

Идея cusp form появилась из заострений на модулярных кривых, но также имела смысл, видимый в спектральной теории как

www.wikizero.com

Недостающая идея | kniganews

Большой комплекс взаимосвязанных задач, совокупно известных под названием Langlands Program, иногда также называют «Теорией великого объединения математики». Иначе говоря, множеством ученых из разных стран мира на протяжении вот уже почти полувека предпринимаются очень серьезные усилия ради грандиозной общей цели.

Понемногу, шаг за шагом им удается показать, что необъятный мир математических исследований, когда-то представлявшийся совокупностью самых разных и зачастую никак не связанных между собой территорий, на самом деле устроен в корне иначе. То есть области, которые прежде воспринимались как не имеющие ничего общего друг с другом, в действительности оказываются эквивалентными описаниями одной и той же в сущности структуры.

Структуры, одновременно и чрезвычайно сложной в освоении, и – как многие предчувствуют – элегантно простой и красивой в своей итоговой картине. Короче, единой конструкции в основе всей математики – наверняка прекрасной, но по сию пору наукой еще не постигнутой.

И при этом – что удивительно – на просторах всенародной энциклопедии «Википедия», где число статей лишь в одном русскоязычном разделе уже приближается к миллиону, на русском языке нет об этом практически никакой информации.

То есть нет там ни собственно статьи «Программа Ленглендса» (именно в таком написании термин закрепился в отечественной науке), ни статьи «Роберт Лэнглендс» (более корректное, пожалуй, произношение фамилии) – об известном канадском математике, запустившем все это дело еще в 1960-е годы, а в минувшем октябре отметившем свое 76-летие.

Столь откровенное безразличие общества к большим свершениям, происходящим на передовых рубежах теоретической науки, характерно, конечно, не только для нашей страны. Это явление, если присмотреться, ныне фактически повсеместное.

Ученых, ясное дело, такая тенденция всерьез беспокоит. Именно по этой причине, собственно, в городе Торонто, Канада, в октябре нынешнего года был устроен первый международный Симпозиум Филдсовской медали, нацеленный на более широкую популяризацию достижений математической науки в народных массах.

Отныне это мероприятие планируется Институтом Филдса проводить ежегодно, причем каждый очередной симпозиум – как и первый – мыслится сфокусированным на такой области математики, где достигнуты выдающиеся успехи одним из недавних лауреатов Медали Филдса. (На всякий случай, если кто не в курсе, Филдсовская медаль считается своего рода «математическим аналогом» Нобелевской премии – высшей среди математиков наградой, которой раз в 4 года награждаются ученые в возрасте не более 40 лет.)

Что же касается тематической направленности Первого филдсовского симпозиума, то конечно же совсем не случайно он был посвящен «Фундаментальным основам Программы Ленглендса». А в качестве «главного героя» форума был выбран первый великий математик вьетнамского народа Нго Бао Тяу, в 2008 году удостоенный медали Филдса за доказательство Фундаментальной леммы в теории Ленглендса (сформулированного еще в 1983 году важного, но технически вспомогательного утверждения, которое, однако, никому не удавалось доказать на протяжении четверти века; Нго Бао Тяу не только доказал лемму неожиданным и новаторским образом, но и открыл попутно множество неведомых прежде взаимосвязей).

Чтобы стало понятнее, почему все это действительно важно не только для узко специализированных теоретиков, глубоко погрузившихся в свои математические абстракции, но и в целом для человечества, правильнее всего предоставить слово специалисту. Который не только в деталях понимает предмет, но и достаточно внятно может объяснить суть открытий обычным людям, далеким от математики.

В данном случае на эту роль практически идеально подходит Эдвард Френкель, профессор математики из Калифорнийского университета Беркли и один из главных научных организаторов первого Симпозиума Филдсовской медали. В большом интервью, предшествовавшем мероприятию, Френкель дал популярный обзор Программы Ленглендса, ее общей истории и нынешних особенностей.

Целиком оригинал этого интервью можно найти на сайте Университета Торонто, ну а в сокращенном вольном пересказе по-русски тезисы Френкеля выглядят примерно так.

Что рассказал профессор Френкель

Исследования, ведущиеся в рамках Программы Ленглендса, нередко пытаются охарактеризовать как строгую разработку математического языка, устанавливающего соответствие между теорией чисел и математическим анализом. Хотя можно сказать и так, однако в действительности это много-много больше.

Когда в конце 1960-х годов Роберт Лэнглендс затевал свою Программу, то главным стимулом, подтолкнувшим его к этим изысканиям, были весьма трудные в своем решении вопросы из области теории чисел.

В этой области часто приходится иметь дело с решениями степенных алгебраических уравнений (типа, скажем, y² = x³ + 5x +3), но с той особенностью, что все вычисления здесь ведутся лишь над целыми числами «по модулю p». Принципы модульной арифметики проще всего пояснить циферблатом часов, на котором сколько бы времени не прошло, показания стрелок всегда приведены «по модулю 12» (правда, при более строгом подходе к делу на циферблате следовало бы писать цифры от 0 до 11, но это уже технические нюансы).

В теории же чисел по ряду принципиальных причин особо важны ситуации, когда числовые наборы, задающие множество значений уравнения, формируются по таким модулям p, которые являются простыми числами (делящимися лишь на себя и 1). И в этих условиях, когда аналитик сталкивается с тем или иным уравнением, крайне желательно бывает заранее знать, сколько именно решений имеет данное уравнение по модулю p – для всех возможных значений простого числа p. Так вот оказывается, что это чрезвычайно сложный вопрос.

Глубокое и неожиданное прозрение Лэнглендса заключалось в том, что неведомые числа решений можно, как оказалось, считывать с объектов из совершенно другой области математики, именуемой «гармонический анализ».

Данный раздел математического анализа занимается изучением функций особенного рода – имеющих прямое отношение к регулярным колебаниям и к музыке, а потому называемых гармоническими. Для простейшего примера, все знают базовые тригонометрические функции, такие как sin(x) и cos(x). К этому же элементарному ряду принадлежат также функции sin(nx) и cos(nx) при всех целочисленных значениях n.

Согласно результатам, полученным еще Жаном Батистом Фурье в начале XIX века, почти все функции, являющиеся периодическими, можно эквивалентно записать в виде «суперпозиции» или композиции из этих простейших базовых функций. Это очень сильное и, как показала жизнь, чрезвычайно полезное утверждение!

В приложении к области коммуникаций, скажем, представьте, что у вас есть сигнал, описываемый некоторой функцией. Преобразование ее к виду суммы из простых тригонометрических функций представляет собой декомпозицию – или разложение – сигнала на «элементарные гармоники» (систематически обрабатывать которые всегда несоизмеримо проще).

Это, собственно, и есть то, в чем заключается суть гармонического анализа: отыскание неких элементарных гармоник, вроде sin(nx) и cos(nx), но только в намного более общей ситуации, а также отыскание путей к разложению произвольных функций в терминах таких гармоник.

Это замечательная теория, находящая ныне огромное множество всевозможных полезных приложений. Но следует, однако, подчеркнуть, что поначалу она выглядела чрезвычайно далекой от теории чисел.

И вот тут-то и случился сюрприз. Роберт Лэнглендс предположил и в общих чертах показал, что эти два мира – теория чисел и гармонический анализ – неразрывно связаны друг с другом.

Выражаясь более аккуратно, он предположил, что вопросы в теории чисел, вроде отыскания числа решений для уравнений по простому модулю, могут быть решены с помощью аппарата гармонического анализа.

В частности, для всякого уравнения, типа приведенного выше, существует некоторая гармоническая функция, которая как бы заранее уже все «знает» о числах решений этого уравнения по всем простым модулям (то есть позволяет достаточно просто их вычислять).

Поскольку это взаимное соответствие ниоткуда не следовало, то выглядело данное открытие крайне озадачивающе – словно какая-то магия и волшебство…

Именно по этой причине, собственно, математический мир и был столь сильно взволнован программой Ленглендса. Прежде всего потому, что развитие этого направления дает нам способ решать такие задачи, которые прежде выглядели как неразрешимые проблемы.

Есть тут и второй, не менее важный аспект. Программа Ленглендса указывает на какие-то очень глубокие и фундаментальные взаимосвязи между разными областями математики.

Конечно же, очень хочется узнать, что же действительно здесь происходит. Почему эти вещи связаны вот таким образом? Но пока еще все мы полностью этого так и не понимаем…

Примерно так выглядело происхождение программы Ленглендса.

Ну а затем стало происходить вот что. Те же самые загадочные паттерны и соответствия начали постепенно обнаруживаться не только в других областях математики, вроде геометрии, но также и в квантовой физике.

Программу Ленглендса не просто так порою называют Теорией великого объединения математики. Эта Программа указывает на некие всеобщие, универсальные феномены и взаимосвязи между этими феноменами, накрывающие самые разные области математики. Именно здесь, быть может, и содержатся ключи к пониманию того, что же вообще представляет собой математика…

На сегодняшний день программа Ленглендса – это гигантская территория исследований. Поскольку идеи Программы распространились во множестве направлений, сейчас здесь работает большое сообщество специалистов из весьма разнообразных областей математики и теоретической физики.

Ситуация выглядит так, словно у вас имеется множество совершенно разных языков, а также наборы предложений из этих разных языков, про которые вам уже известно, что они означают одну и ту же вещь. И вот вы раскладываете эти предложения рядом друг с другом, и мало-помалу начинаете нарабатывать словарь, который позволяет вам переводить одни и те же, по сути, утверждения, но только сформулированные в разных областях математики, в квантовой теории поля или в теории струн.

Работы над Программой Ленглендса, конечно же, будут продолжаться и дальше. В завершение интервью Эдвард Френкель сказал об этом так:

Чем больше мы узнаем, тем больше мы понимаем, насколько мало мы в действительности знаем. Как я уже говорил, красота Программы Ленглендса в том, что она указывает на загадочные связи между разными областями математики.

И самый большой из вопросов, на мой взгляд, такой: почему эти взаимосвязи существуют, каков стоящий за ними механизм? Мы все еще этого не знаем, но мы над этим работаем.

Теперь мы уже лучше понимаем, каким образом различные куски паззла прикладываются друг к другу.

Но нам нужны новые свежие идеи.

Ну а пока новых и свежих идей на горизонте не появилось, имеет, быть может, смысл повнимательнее оглядеться вокруг. И присмотреться к идеям достаточно старым, но только как следует все еще не разработанным.

Две тайны или одна?

Среди великого множества все еще не разрешенных человеком загадок природы две тайны особо впечатляют своими масштабами, а потому и вспоминаются чаще других.

Загадка первая, наиболее дискомфортная: что представляют собой темная материя и темная энергия, на которые приходится 96% вселенной?

Вершина современных научных знаний о природе мироздания, Стандартная Модель физики, содержательно описывает наблюдаемый мир в терминах кварков, лептонов и прочих квантовых частиц-полей, переносящих взаимодействия. Однако приходится признать, что все эти вещи составляют всего лишь 4% от общей массы-энергии вселенной.

Про остальные 96% наука не знает и не может сказать ничего. Кроме как называть неведомое «темной материей» и «темной энергией».

Загадка вторая – это тайна «непостижимой эффективности математики» (как сформулировал ее в свое время Юджин Вигнер).

На протяжении всей истории науки ученые постоянно сталкиваются с ситуациями, когда математические уравнения, выводимые ими для описания физических закономерностей, в действительности «знают» больше, чем записавшие их первооткрыватели.

Типичный пример. Когда, скажем, Альберт Эйнштейн завершил в 1916 году разработку своей общей теории относительности, то при размышлениях над выведенными уравнениями он вдруг обнаружил в них совершенно неожиданное послание, сообщавшее, что вселенная расширяется.

Эйнштейн же в то время был уверен в картине стационарного и неподвижного мироздания, поэтому не поверил, что физическая вселенная способна сжиматься или расти в размерах. Иначе говоря, он проигнорировал то, о чем говорили ему уравнения. Спустя еще 13 лет астрономические наблюдения Эдвина Хаббла продемонстрировали убедительные свидетельства расширению вселенной. А Эйнштейн, соответственно, упустил возможность сделать одно из наиболее эффектных и неожиданных научных предсказаний в истории науки.

Сам собой возникает интересный вопрос: каким образом эйнштейновы уравнения «знали» что вселенная расширяется, когда сам он этого не знал и знать не хотел?

И если математика, как некоторые полагают, это не более чем язык, который человек придумал и использует для описания мира (то есть лишь изобретение человеческого мозга), то как же она может выдавать нечто такое, что находится явно за пределами вкладываемого туда людьми?

Всякий раз, когда уравнения математики сами «знают» и дают ученым предсказания о еще не открытых частицах и о любых других свойствах физической реальности, на ум невольно приходит странноватая идея примерно следующего типа: «Быть может, это так по той причине, что математика и есть реальность» (пользуясь выражением Брайена Грина, известного популяризатора струнной теории и профессора физики из Колумбийского университета).

Но отсюда возникает следующий большой вопрос: почему же тогда вселенная сделана только лишь из небольшой части всей доступной человеку математики?

Еще раз цитируя Брайена Грина: «Математики имеется очень много. Лишь совсем тоненький ее слой имеет сегодня реализацию в физическом мире. Снимите с полки любую математическую книгу и вы увидите, что большинство уравнений в ней не соответствует никакому физическому объекту или физическому процессу»…

Очередной подходящей цитаты от какого-нибудь знаменитого научного светила под рукой не находится, однако следующая логичная идея лежит, по сути, на поверхности. А значит, ее наверняка кто-то из авторитетов уже озвучивал (и даже если нет, это ничего не меняет):

Если наблюдаемый человеком мир составляет лишь крошечную, 4-процентную долю от всего, что есть во вселенной, а из того гигантского комплекса математики, что уже освоен человеком, лишь крошечная доля отвечает за описание наблюдаемой реальности, то, быть может, ответ на две большие загадки природы уже нами найден?

То есть не исключено, что математики и теоретики математической физики, давно и подробно исследующие абстрактные миры, местами или даже полностью оторванные от реальности, на самом деле изучают те самые 96% невидимой для человека вселенной…

Доказать подобную гипотезу, конечно, пока что нет никакой возможности. Однако для ее подкрепления полезно напомнить еще одну, третью, великую загадку, без которой общая картина «не имеет смысла» – в буквальном понимании этих слов.

Что нарисовал профессор Пенроуз

В 2004 году у известного британского физика и математика Роджера Пенроуза вышла в свет толстенная монография «Путь к реальности, или полный путеводитель по законам, управляющим Вселенной» (Roger Penrose, «The Road to Reality. A Complete Guide to the Laws of the Universe». Jonathan Cape, 2004. Имеется русский перевод от ижевского издательства НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007).

Так вот, в этой книге целый самостоятельный подраздел (1.4) посвящен еще одной великой тайне – о том непостижимом положении, которое занимает человеческое сознание между физической реальностью и миром математики.

Пенроуз называет этот комплекс «три мира или три формы существования»: форма физического существования, форма ментального существования и форма математического существования (платоновский мир идей). Понятно, что все эти формы тесно друг с другом связаны, «причем соответствующие связи настолько же фундаментальны, насколько и загадочны» (цитируя автора).

С помощью вот такого рисунка Пенроуз схематически изобразил все эти три формы существования в виде сфер, представляющих собой объекты, принадлежащие трем различным мирам. Здесь же показана и суть загадочных связей между этими мирами.

Три «мира» по Пенроузу и три связывающие их загадки

Суть загадок достаточно ясна. Как уже отмечалось выше, если рассматривать сферу математики, то непосредственное отношение к процессам физического мира имеет лишь некая совсем малая часть мира математического.

Аналогично, в сфере мира физического (насколько это известно современной науке) лишь очень-очень небольшая часть имеет отношение к сознанию и связана с феноменом ментальной деятельности.

И наконец, третья взаимосвязь-загадка, связывающая сознание со сферой математики, также вполне очевидна: размышления человека об абсолютных математических истинах составляют чрезвычайно малую долю от нашей совокупной мыслительной деятельности.

В итоге же из этих достаточно очевидных соотношений складывается явный парадокс – когда каждый мир заключает в себе в качестве малого фрагмента весь следующий мир целиком. Но цепочка взаимосвязей при этом замкнута…

Автор честно признает, что не в силах решить эту тройственную головоломку. Но, добавляет он, вместо решения можно продемонстрировать наличие еще одной, даже более головоломной идеи-загадки, превосходящей и перекрывающей все те, на которые уже указано:

Возможно, что все три мира в некотором смысле вовсе не являются отдельными сущностями, но лишь отражают различные аспекты некоей одной, более фундаментальной истины, описывающей мир, как целое. Истины, о которой в настоящее время мы не имеем ни малейшего представления.

Так, подчеркнем, видит ситуацию известный ученый Роджер Пенроуз.

Однако есть и другие известные ученые, имеющие на данный счет вполне определенные идеи и представления. И что самое приятное, эти разные идеи довольно неплохо друг с другом сочетаются.

Но это уже тема для следующего текста.

kniganews.org